¿Cómo utilizo las derivadas totales de una función implícita para resolver este problema?

Question

Supongamos que un consumidor tiene una función de utilidad $u(x_1,x_2)$, donde $u_1>0, u_2>0, u_{11}<0,u_{22}<0,u_{12}=u_{21}>0$. Los precios están fijos. Los ingresos del consumidor provienen del trabajo y el salario es de $m$ por hora. El consumidor también tiene $T$ horas en un día para asignar entre trabajo y consumo. Una unidad del bien $i$ toma $kt_i$ horas para consumir.

Supongamos que cuando el consumidor está sano, $k=1$; pero cuando el consumidor no está sano, se tarda más tiempo en consumir. Quiero demostrar que si $\frac{p_2}{p_1}\leq\frac{t_2}{t_1}$, entonces el consumo del bien 2 disminuye cuando la salud del consumidor no es buena; es decir, cuando $k$ supera 1.

Parece que necesito hacer diferenciación total para resolver este problema, pero no tengo ni idea de por dónde empezar. ¿Alguien tiene algún pensamiento al respecto?

Editado: $u_{21}=u_{12}>0$. Mi error.

Answer 1

Dado que $u_{1,2} = 0$, la función de utilidad es aditivamente separable. Por lo tanto, tenemos el problema: $$ \begin{align*} \max_{x_1, x_2} u(x_1) + v(x_2) \text{ s.t. } &p_1 x_1 + p_2 x_2 = m \ell\\ & k t_1 x_1 + k t_2 x_2 = T-\ell \end{align*} $$ La primera restricción es la restricción presupuestaria. La segunda restricción es la restricción de tiempo.

Sustituyendo la segunda restricción en la primera (eliminando $\ell$) tenemos: $$ (p_1 + m k t_1) x_1 + (p_2 + m k t_2) x_2 = mT $$

Ahora, las condiciones de primer orden para el problema de maximización son: $$ \begin{align*} &u'(x_1) = \lambda (p_1 + m kt_1)\\ &v'(x_2) = \lambda (p_2 + m k t_2)\\ &(p_1 + mkt_1) x_1 + (p_2 + m k t_2) x_2 = m T \end{align*} $$ podemos diferenciar totalmente las tres ecuaciones (con variables $x_1, x_2, \lambda$ y $k$).

$$ \begin{align*} &u''(x_1) dx_1 - (p_1 + m kt_1) d \lambda = \lambda m t_1 dk\\ &v''(x_2) dx_2 - (p_2 + m kt_2) d \lambda = \lambda m t_2 dk\\ &(p_1 + mkt_1) dx_1 + (p_2 + m k t_2) dx_2 = -m(t_1 x_1 + t_2 x_2) dk. \end{align*} $$

En forma de matriz, esto da: $$ \begin{bmatrix}u''(x_1) & 0 & -(p_1 + m kt_1)\\ 0 & v''(x_2) & - (p_2 + m k t_2)\\ (p_1 + m k t_1) & (p_2 + m k t_2) & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dx1 \\ dx2 \\ d \lambda\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda m t_1 \\ \lambda m t_2 \\ -m(t_1 x_1 + t_2 x_2) \end{bmatrix} dk $$

Podemos resolver este sistema: $$ \begin{align*} \begin{bmatrix} dx_1 \\ dx_2 \\ d \lambda\end{bmatrix} = \frac{A}{v''(x_2)(p_1 + m k t_1)^2 + u''(x_1)(p_2 + m k t_2)^2} \begin{bmatrix}\lambda m t_1\\ \lambda m t_2 \\-m(t_1 x_1 + t_2 x_2)\end{bmatrix} d k \end{align*} $$ donde $A$ es la matriz: $$ A = \begin{bmatrix}(p_2 + m k t_2)^2 & -(p_1 + m k t_1)(p_2 + m k t_2) & v''(x_2)(p_1 + mkt_2)\\ -(p_1 + m k t_1)(p_2 + mkt_2) & (p_1 + m k t_1)^2 & u''(x_1)(p_2 + m k t_2) \\ -v''(x_2)(p_1 + m k t_1) & -u''(x_1)(p_2 + m k t_2) & u''(x_1)v''(x_2)\end{bmatrix} $$

Ahora, tomando la segunda fila, tenemos: $$ dx_2 = \frac{-(p_1 + m k t_1)(p_2 + m k t_2)\lambda m t_1 + (p_1 + mkt_1)^2 \lambda m t_2 + u''(x_1)(p_2 + m k t_2)(-m(t_1 x_1 + t_2 x_2))}{v''(x_2)(p_1 + m k t_1)^2 + u''(x_1)(p_2 + m k t_2)^2}dk $$

El denominador es negativo ya que $u''(x_1), v''(x_2) < 0$. Para el numerador, el tercer término se reduce a: $$ -u''(x_1)(p_2 + m k t_2)(t_1 x_1 + t_2 x_2) > 0. $$ Los dos primeros términos son: $$ \begin{align*} &-(p_1 + m kt_1)(p_2 + m k t_2)\lambda m t_1 + (p_1 + m k t_1)^2 \lambda m t_2,\\ &= (p_1 + m kt_1)\lambda m(-p_2t_1 - m k t_2t_1 + p_1 t_2 + m k t_1 t_2)\\ &= (p_1 + m k t_1)\lambda m(p_1 t_2 - p_2 t_1) \end{align*} $$ Este último es positivo si $\frac{p_2}{p_1} \le \frac{t_2}{t_1}$. Si es así, el numerador de $\frac{dx_2}{dk}$ es positivo y el denominador es negativo, por lo que el signo general es negativo.