Estoy tratando de derivar cambios en el precio $$\frac{\partial x_1^*(p_1,p_2,w)}{\partial p_1}$$ para funciones de utilidad Cobb Douglas $$u(x_1,x_2)=x_1^\alpha x_2^{(1-\alpha)}$$ y debo usar el teorema de la función implícita para hacerlo.
Mi conjunto de condiciones del Lagrangiano, simplificado para eliminar el multiplicador, son
$$ L_1 = \frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{x_1}{x_2} - \frac{p_1}{p_2} = 0 $$
$$ L_2 = p_1x_1+p_2x_2 - w = 0 $$.
Claramente, estas dos ecuaciones definen dos funciones implícitas que pueden obtenerse resolviendo el sistema explícitamente como $$x_1^*(p_1,p_2,w) = \frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{w}{p_1}$$. Sus derivadas según el Teorema de la Función Implícita también se obtienen resolviendo el sistema $$ \frac{\partial L_1}{\partial x_1} \frac{\partial x^*_1}{\partial p_1} + \frac{\partial L_1}{\partial x_2} \frac{\partial x^*_2}{\partial p_1} = - \frac{\partial L_1}{\partial p_1} $$
$$ \frac{\partial L_2}{\partial x_1} \frac{\partial x^*_1}{\partial p_1} + \frac{\partial L_2}{\partial x_2} \frac{\partial x^*_2}{\partial p_1} = - \frac{\partial L_2}{\partial p_1} $$ con $ \frac{\partial x^*_1}{\partial p_1}$ y $\frac{\partial x^*_2}{\partial p_1}$ las incógnitas.
Tengo dos puntos de confusión que me hacen dudar si derivé el conjunto correcto de condiciones.
Primero, sé que la respuesta final debería incluir la riqueza $w$ pero no veo cómo sería posible ya que cualquier derivada de $L_2$ la cancelaría.
Segundo, creo que las condiciones contienen las funciones implícitas en sí, por lo tanto usaría la regla de la cadena para derivar el lado derecho de la ecuación (asumiendo que sé que solo dependen de sus propios precios) $$ \frac{\partial L_1(x^*_1(p_1),x^*_2(p_2),p_1,p_2)}{\partial p_1} = \frac{\partial L_1}{\partial x_1}\frac{\partial x^*_1}{\partial p_1} $$
