Digamos que el problema del agente es $$\max_{c,\{h\}, N}\{U(c, v(\boldsymbol{h} ; \boldsymbol{\theta}))+\lambda(w N-c)\}$$, sujeto a $\sum_{i=1}^{I} h_{i}+N \leq 1, \quad N \in \mathcal{N}$.
Supongamos que $U(c, v(\boldsymbol{h} ; \boldsymbol{\theta}))$ es débilmente separable, $v\left(\boldsymbol{h} ; \boldsymbol{\theta}\right)=\sum_{i=1}^{I} \frac{\left(\theta_{i} h_{i}\right)^{1-\left(1 / \eta_{i}\right)}}{1-\left(1 / \eta_{i}\right)}$, y el análisis se realiza para un $\lambda$ fijo.
FOC: $U_{c}=\lambda$; $U_{v} v_{i}=\omega \quad \text { para } i=1, \ldots, I $, donde $v_{i}=\partial v / \partial h_{i}$, y denotamos $\hat{\omega} \equiv \omega / U_{v}$.
La separabilidad débil nos permite considerar el subproblema: $$\mathrm{v}(H ; \boldsymbol{\theta}) \equiv \max _{\left\{h_{i}\right\}} v\left(h_{1}, \ldots, h_{I} ; \boldsymbol{\theta}\right), \quad \text { sujeto a } \sum_{i} h_{i} \leq H$$ con $\mathrm{v}_{H}=\hat{\omega}$.
En un óptimo, tenemos $U(c, v(\boldsymbol{h} ; \boldsymbol{\theta}))=U(c, \mathrm{v}(H ; \boldsymbol{\theta}))$, y $$U_{v} \mathrm{v}_{H}=\omega$$.
Diferenciando la última ecuación: $$\begin{aligned} \frac{\partial \ln \omega}{\partial \ln \theta_{i}} &=\left(\frac{U_{v v}-U_{c v}^{2} / U_{c c}}{U_{v}}\right) \mathrm{v}_{\theta_{i}} \theta_{i}+\frac{\partial \ln \mathrm{v}_{H}}{\partial \ln \theta_{i}} \end{aligned}$$.
Mi pregunta es cómo deberíamos derivar el $\mathrm{v}_{\theta_i}$. Si no consideramos ningún efecto de $\theta_i$ en $H$, $\mathrm{v}_{\theta_i} = h_i/ \theta_i$ siguiendo el Teorema del Envolvente. Sin embargo, siento que entonces la derivación depende completamente de $H$, mientras que de alguna manera también deberíamos tener en cuenta cómo $\theta_i$ afecta a $H$. ¿O tal vez deberíamos hacer el análisis en una cantidad dada de ocio $H$? De cualquier manera, el artículo que estoy leyendo dice que debería ser algo así como $h_{i} \mathrm{v}_{H}=\mathrm{v}_{\theta_{i}} \theta_{i}$ pero no tengo idea de dónde proviene el $\mathrm{v}_{H}$.
