Prueba de la fórmula de paridad put-call

Question

Acabo de aprender sobre la fórmula de paridad put-call y leí su prueba, que es la siguiente.

Fórmula de paridad put-call: Sea $C,P$ respectivamente los precios de una call y una put, ambas de tipo europeo, sobre el mismo activo subyacente con precio $S$ y con la misma madurez $T$, entonces:

$$C_t - P_t = S_t - K(1+r)^{-(T-t)}$$

Prueba: Considere las dos inversiones $X$ e $Y$ que, en el tiempo $t$, tienen valor

$$X_t = C_t + K(1+r)^{-(T-t)}, \hspace{0.3cm} Y_t = S_t + P_t$$

En el tiempo $t=T$ tenemos que

$$X_T = Y_T = \max\{S_T,K\}$$

Por lo tanto, por la ley de un solo precio tenemos que $X_t = Y_t$ para todo $0 \leq t \leq T$. ¡Concluimos y la prueba está hecha!

Pregunta: En esta prueba, el término $(1+r)$ no juega ningún papel. De hecho, podría reemplazarlo por cualquier otro término. La prueba funciona siempre y cuando tenga un exponente que sea igual a $0$ cuando $t=T$. ¿Entonces la fórmula de paridad put-call es solo una versión muy específica y no una general?

Estoy un poco confundido. ¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Hay algo mal en tu lógica. Supones que la fórmula es correcta en el tiempo $t$, que es hoy. Luego afirmas que en el tiempo $"t=T"$ debemos tener $X_T = Y_T$. ¿Pero cómo llegaste a eso? Supusiste que la fórmula se cumple para todo momento. Por lo tanto, asumiste la respuesta en tu prueba.

El argumento correcto establece que necesitamos invertir el $K(1+r)^{-(T-t)}$ a una tasa de interés $r$ durante el periodo $T-t$, obteniendo así la cantidad $K$ en el tiempo $T$. Por lo tanto, necesitas el factor $(1+r)$ en el argumento.