Pendiente de isoquantas

Question

Considere una función de producción $f(L,K)=\sqrt{KL}$.

El |MRTS|=$K/L$, y $\frac{d|MRTS|}{dL}=\frac{-K}{L^2}$

Sin embargo, si uso la expresión dada en Nicholson y Snyder (Teoría microeconómica, Capítulo 9 [Funciones de producción], ecuación 9.21):

y sustituyo los valores de las derivadas parciales, entonces obtengo $-2K/L^2$.

He revisado el cálculo dos veces, así que no creo que ese sea el problema. También he verificado con otras formas funcionales y obtengo una constante adicional en la mayoría de los casos. ¿Estoy haciendo algo mal?

Answer 1

De acuerdo, la clave es que hay matices en la notación, están calculando una derivada completa, no una derivada parcial. Entre 9.19 y 9.20 escriben que

Porque $f_l$ y $f_k$ son funciones tanto de $k$ como de $l$, debemos tener cuidado al tomar la derivada de esta expresión.

Tú escribes

$\frac{d|MRTS|}{dl}=\frac{-K}{L^2}$

pero en realidad si estás moviéndote en una isoquanta entonces $k$ es una función de $l$, por lo que

$$ \frac{\partial|MRTS(k,l)|}{\partial l} = \frac{k}{l^2} $$ mientras que $$ \frac{d|MRTS(k,l)|}{dl} = \frac{\partial|MRTS(k,l)|}{\partial l} + \frac{\partial|MRTS(k,l)|}{\partial k} \frac{\text{d}k}{\text{d}l}. $$