La correspondencia de demanda de Marshall está dada por: $$ x(p_x, p_y,m) = \begin{cases} \{m/p_x\} &\text{ si } p_x < p_y\\ \{0, m/p_x\} &\text{ si } p_x = p_y\\ \{0\} &\text{ si } p_x > p_y \end{cases}. $$
La función de utilidad indirecta está dada por: $$ v(p_x, p_y, m) = \left(\frac{m}{\min\{p_x, p_y\}}\right)^2 $$
Ahora consideremos el problema de minimización de costo: $$ e(p_x, p_y, \bar u) = \min p_x x + p_y y \text{ s.t. } x^2 + y^2 \ge \bar u. $$ Si $p_x < p_y$ será mejor establecer $x = \sqrt{\bar u}$ y si $p_y < p_x$ será mejor establecer $y = \sqrt{\bar u}$. Así obtenemos que la correspondencia de demanda de Hicks está dada por: $$ h_x(p_x, p_y, \bar u) = \begin{cases}\{\sqrt{\bar u}\} & \text{ si } p_x < p_y,\\ \{0, \sqrt{\bar u}\} \text{ si } p_x = p_y,\\ \{0\} &\text{ si } p_x > p_y\end{cases}. $$ La función de gasto está dada por: $$ e(p_x, p_y, \bar u) = \min\{p_x, p_y\}\sqrt{\bar u}. $$
Ahora, si $p_x < p_y$ entonces: $$ h_x(p_x, p_y, v(p_x, p_y, m)) = \left\{\sqrt{v(p_x, p_y, m)}\right\} = \left\{\frac{m}{\min\{p_x, p_y\}}\right\} = \left\{\frac{m}{p_x}\right\} = x(p_x, p_y, m). $$ Si $p_x > p_y$ entonces: $$ h_x(p_x, p_y, v(p_x, p_y, m)) = \{0\} = x(p_x, p_y, m) $$ Si $p_x = p_y$ tenemos: $$ h_x(p_x, p_y, v(p_x,p_y,m)) = \left\{0, \sqrt{v(p_x, p_y, m)}\right\} = \left\{0, \frac{m}{p_x}\right\} = x(p_x, p_y, m). $$ Esto muestra que la dualidad fuerte se cumple en este caso.
La dificultad conceptual de este ejemplo es que si $p_x = p_y$, entonces la demanda no es univalente. Como tal, tenemos que trabajar con correspondencias de demanda en lugar de funciones de demanda.
