¿Cuándo podrían calcularse explícitamente las funciones de valor en las ecuaciones de Bellman?

Question

Dada la forma más simple de un modelo Lucas, es decir, una ecuación de Bellman dada por \begin{align} J(x_t) & = \max_{c_t, x_{t+1}} \{ u(c_t) + \beta E_{\pi} [ J(x_{t+1})] \} \\ & \textrm{ s.t. } p_{t}x_{t+1} = (p_t + d_t)x_t - c_t, \nonumber \end{align} con un FOC dado por \begin{align} u'(c_t)p_t = \beta E_{\pi} [u'(c_{t+1}) (p_{t+1}+d_{t+1})], \end{align} ¿hay alguna manera de calcular la función de valor $J(x_t)$ explícitamente (es decir, sin algoritmos numéricos de solución)?

En términos más generales, ¿cuándo es posible calcular explícitamente la función de valor a partir de una configuración de Bellman y cuáles son los métodos habituales para hacerlo?

Muchas gracias de antemano.

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Sólo para explicar las variables anteriores:

$c_t$ : consumo, $x_t$ tenencia de activos de riesgo, $d_t$ : dividendos, $\pi$ Ley de probabilidad para $d_{t+1}$ , $u(\cdot)$ Función de utilidad estándar

Answer 1

Que yo sepa, el único método que funciona es adivinar y verificar : Adivina la forma funcional de la función de valor $J(x)$ y verificar que efectivamente satisface la ecuación de Bellman.

Por supuesto, dependiendo de la suerte que tengas, adivinar puede ser un método que lleve bastante tiempo.

• En algunos casos, puedes hacer una estimación más aproximada resolviendo varias versiones de horizonte finito del problema, es decir, resolver, \begin{align*} J_T(x) = \max \sum_{t = 0}^T u(c_t) \text{ s.t. } &p_t x_{t+1} = (p_t + d_t)x_t-c_t.\\ &x_0 \text{ given } \end{align*} para los valores $T = 1,2,\dots$ . Si eres capaz de obtener una solución de forma cerrada para $J_T(x)$ se podría intentar una forma funcional similar para el problema general $J(x)$ .

• A veces, también es posible conseguir restricciones de forma sobre la función $J(x)$ . Por ejemplo, podría demostrar que $J$ es monótona, cóncava u homogénea. Esto a veces restringe la clase de soluciones posibles.

• Por último, se podría resolver el problema numéricamente y luego intentar ajustar una forma determinada (por ejemplo, lineal en $\ln(x)$ ). Esto puede orientarle hacia una forma funcional más particular.