Tengo una pregunta muy general que hacer - si estoy recibiendo múltiples equilibrio y tengo que comprobar cuál será elegido es decir, que la solución es estable, ¿puedo comprobarlo mediante la comparación de lo que produce el máximo payoff para el principal. Básicamente, ¿es la estabilidad lo mismo que el punto máximo absoluto para el principal. ¿O es que la maximización del beneficio y la estabilidad son dos conceptos diferentes?
Respuesta
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La estabilidad es un tema muy amplio y, en general, no tiene nada que ver con la maximización del beneficio.
Obviamente, los resultados varían de un modelo a otro, y es posible que en un modelo concreto la maximización del beneficio y la estabilidad estén vinculadas.
Pero la estabilidad es un concepto muy distinto de la maximización del beneficio, también porque la maximización del beneficio suele ser, tal y como se estudia en la microeconomía estándar, un concepto estático mientras que _La estabilidad es una noción sistemas dinámicos_ Es decir, para hablar de estabilidad debemos contar con modelos en los que el tiempo entre de forma esencial.
Por tanto, para hablar de estabilidad de un equilibrio debemos disponer de modelos dinámicos formulados como sistemas dinámicos que suelen describirse mediante sistemas dinámicos discretos (el tiempo es una variable discreta) o por ecuaciones diferenciales (el tiempo es una variable continua), por lo que hablamos de sistemas dinámicos discretos o continuos .
Sistemas dinámicos es una teoría derivada de la mecánica clásica, al igual que los conceptos de equilibrio y estabilidad del equilibrio. $^1$
Para un sistema mecánico un punto de equilibrio o punto fijo o solución nula se define como una configuración tal que el sistema, si inicialmente se encuentra en esa configuración, permanece en ella. Formalmente, un punto fijo o equilibrio es un punto en el que el cambio de las variables consideradas, es decir, sus derivadas con respecto al tiempo en los sistemas continuos o su diferencia entre dos periodos de tiempo posteriores en los sistemas discretos, es cero.
Se dice que un equilibrio estable si el sistema, inicialmente en el punto de equilibrio, y sometido a una pequeña perturbación, tiende a volver al punto de equilibrio, o mejor
Un sistema es estable si, al ser perturbado ligeramente de su equilibrio todo el movimiento subsiguiente permanece en una vecindad del equilibrio. $^2$
En cambio, se dice que el equilibrio inestable si, tras una perturbación, el sistema tiende a alejarse del equilibrio.
Por lo tanto, en los sistemas dinámicos existe una clasificación de los puntos de equilibrio, por ejemplo los puntos de equilibrio se denominan fuentes (o ahuyentadores o inestable) o fregaderos ( atractores o estable). $^3$
Además, debemos recordar que, en el caso de equilibrios múltiples , puede haber más de un equilibrio estable, para que hablando de el equilibrio estable no es correcta.
Estabilidad y maximización de beneficios son conceptos distintos e independientes
Volviendo a la economía, un modelo estático propiamente dicho no puede decir nada sobre la estabilidad de los equilibrios, pero para hablar de equilibrios estables o inestables en relación con un modelo estático debemos adjuntarle un sistema dinámico, haciendo suposiciones sobre la evolución de las variables en el tiempo, que no pueden estar presentes en el modelo estático.
Como el tema de la estabilidad es muy complejo, sólo puedo dar algunos ejemplos ilustrativos para dar una idea de los conceptos que he mencionado: la distinción entre estática y dinámica, la irrelevancia de la maximización del beneficio para determinar la estabilidad de un sistema y la posibilidad de existencia de más de un equilibrio estable.
Considero en primer lugar el conocido modelo de equilibrio del mercado en competencia perfecta.
El modelo tradicional de equilibrio competitivo en un mercado suele formularse en términos estáticos, como equilibrio entre la demanda y la oferta en ese mercado, y puede representarse mediante el gráfico habitual:
$$Fig. 1$$
donde, como siempre, $P^e$ y $Q^e$ son el precio y la cantidad de equilibrio, y el equilibrio se define como la igualdad entre la demanda y la oferta.
Dónde ¿se trata de maximizar los beneficios? La curva de oferta, en un mercado competitivo, se deriva de la maximización del beneficio de las empresas, por lo que que cada punto de la curva de oferta representa una cantidad maximizadora de beneficios, en función del precio de mercado. Por supuesto, también en equilibrio la empresa representativa está maximizando su beneficio.
¿El equilibrio representado en el gráfico es estable o inestable? El modelo no puede responder a esta pregunta porque se trata de un modelo estático, que no dice nada sobre el comportamiento de las variables fuera del equilibrio en particular si alcanzarán o no el punto de equilibrio.
Para establecer si el equilibrio es estable y bajo qué supuestos, debemos adjuntar al modelo estático un modelo dinámico, que describa el comportamiento de las variables en el tiempo, si se alejan del equilibrio.
Ese modelo dinámico puede formularse de diferentes maneras, y bajo diferentes supuestos, de modo que el mismo modelo estático representado en el gráfico puede exhibir un equilibrio estable o inestable según distintos supuestos.
Una forma clásica de asociar una dinámica subyacente a los modelos de oferta y demanda consiste en plantear la hipótesis de una denominada dinámica de la telaraña $^4$ bajo el cual el precio y la cantidad varían en función de las expectativas de los agentes sobre los precios futuros.
El resultado de una dinámica de telaraña es que el equilibrio del mercado será estable o inestable según los parámetros del modelo, en particular el pendientes de las funciones de oferta y demanda. Los gráficos siguientes representan dos casos de proceso de telaraña estable e inestable, respectivamente: en el primer caso el sistema alcanza el equilibrio con el tiempo, en el segundo se aleja del equilibrio, a medida que transcurre el tiempo:
$$Fig. 2$$
$$Fig. 3$$
Por supuesto, se pueden hacer otras suposiciones dinámicas sobre el modelo, por ejemplo una dinámica basada en el exceso de oferta y demanda, y la estabilidad o no del equilibrio debe establecerse sobre la base de diferentes suposiciones.
Y vemos que, como en el equilibrio la empresa representativa siempre maximiza los beneficios, como en toda la curva de oferta, esta maximización no tiene nada que ver con la estabilidad o la inestabilidad.
En caso de equilibrios múltiples, puede haber muchos equilibrios estables
Existen verdaderos modelos dinámicos, es decir, modelos que son dinámicos desde el principio, pero también en ese caso nada implica que vaya a haber un único equilibrio estable, si es que existe el equilibrio.
Un ejemplo bien conocido es el Modelo de crecimiento de Solow que en su formulación estándar sólo tiene un equilibrio estable, pero en algunas de sus versiones puede haber casos de equilibrios múltiples, y más de un equilibrio puede ser estable. Véase el siguiente gráfico:
$$Fig. 4$$
En la imagen anterior, los supuestos de ahorro son tales que la curva de ahorro tiene una forma "ondulada", y se cruza con la línea $(n+\delta)k$ en tres puntos: hay tres puntos de equilibrio, y dos de ellos, $A$ y $C$ son estables, en cambio $B$ es inestable, como indican las flechas.
La estabilidad del equilibrio no tiene nada que ver con la eficiencia
Además, hay que recordar que el concepto de equilibrio no tiene nada que ver con la eficiencia, como pareces sugerir en tu comentario anterior.
Un equilibrio, por definición, en un sistema dinámico, no es más que un punto fijo es decir, un punto en el que se detiene la dinámica de las variables consideradas y el sistema se encuentra en "estado de reposo".
Nada garantiza que este estado sea eficiente o incluso deseable. Un estado de equilibrio puede ser también un "mal" equilibrio: piénsese en un equilibrio de desempleo en la teoría keynesiana o de nuevo en algún caso de modelo de Crecimiento de Solow modificado, donde en algunas circunstancias lo que se llama la trampa de la pobreza $^5$ puede surgir, a saber, una situación en la que el sistema se estanque en un nivel muy bajo de acumulación de renta y capital.
El punto de equilibrio $A$ en $Fig. 4$ anterior puede representar una trampa de pobreza: el sistema económico, por sí solo, sin una intervención exterior, por ejemplo del Gobierno, permanece indefinidamente en un estado de nivel de vida muy bajo. Se necesita una política económica que aumente la renta y el capital, por ejemplo una llamada gran impulso una intervención masiva, para llevar el capital per cápita más allá del punto $B$ . $$***$$
La distinción entre puntos de equilibrio estables e inestables no es exhaustiva, puede haber otras distinciones, como estabilidad asintótica, equilibrios neutros, local o global estabilidad.
Para un análisis de la estabilidad en la dinámica económica, y también de los distintos tipos de estabilidad, véase Gandolfo G., Dinámica económica Springer, 2009.
$^1$ Hay que recordar que aquí hablamos de equilibrio en sistemas dinámicos que es el entorno matemático en el que podemos hablar de estabilidad de equilibrio. Somos no hablar del concepto de equilibrio en economía en general , donde el concepto puede ser diferente, por ejemplo la igualdad entre la demanda y la oferta.
$^2$ Gandolfo G., Dinámica económica Springer, 2009, p. 353.
$^3$ Para un amplio análisis de estas clasificaciones y de la estabilidad, véase Strogatz Stephen H., Dinámica no lineal y caos , CRC Press, 2015.
$^4$ Nerlove, M., (1958), Adaptive expectations and Cobweb Phenomena.
$^5$ Véase también, por ejemplo, http://growth-institutions.ec.unipi.it/pages/Human_Capital/education_poverty.pdf
