Pregunta sobre el teorema de la función implícita y la estática comparativa - Matemáticas para economistas por Simon y Blume Capítulo 15 Ejercicio 32

Question

Estoy estudiando el Teorema de la Función Implícita y su aplicación en estática comparativa utilizando Matemáticas para economistas de Simon y Blume. He aquí la pregunta:

Consideremos una economía de intercambio puro con dos consumidores, numerados $1$ y $2$ y dos bienes de consumo, $x$ y $y$ . Supongamos que el consumidor $1$ tiene una dotación inicial $(e_1, 0)$ y que el consumidor $2$ tiene una dotación inicial $(0, e_2)$ . Para describir las preferencias de los consumidores $u_1$ y $u_2$ sea $C^2$ estrictamente cóncavo ( $u_i^{''} < 0$ ) de una sola variable y que $\alpha$ sea un escalar entre $0$ y $1$ . Para $i = 1, 2$ suponemos que el consumidor $i$ sobre los paquetes de consumo $(x, y)$ se describen mediante la función de utilidad \begin{equation} U_i(x_i, y_i) = \alpha u_i(x_i) + (1-\alpha)u_i(y_i) \end{equation} Sea $p$ y $q$ denotan el precio de una unidad del bien $1$ y $2$ respectivamente. Calcule e interprete la estática comparativa que resulta de un aumento de $\alpha$ .

Yo mismo he intentado responder a esta pregunta. ¿Podría alguien ayudarme a comprobar si mi respuesta es correcta o no? Además, tengo dificultades para interpretar el significado económico o la intuición de la estática comparativa que resulta de un cambio en $\alpha$ . ¡Agradecería mucho si alguien pudiera ayudarme con la interpretación!

(Sé que hay un folleto de respuestas, pero no hay solución para este ejercicio).

Aquí está mi intento:

El problema de optimización con restricciones es: \begin{equation} Max \space\space\space\space U_i(x_i, y_i) = \alpha u_i(x_i) + (1-\alpha)u_i(y_i) \\ s.t. \space\space\space\space px_i + qy_i = value \space of \space initial \space endowment. \end{equation} Fijando el MRS igual a la relación de precios, tenemos \begin{equation} \frac{\frac{\partial U_i}{\partial x_i}(x_i, y_i)}{\frac{\partial U_i}{\partial y_i}(x_i, y_i)} = \frac{\alpha u_i^{'}(x_i)}{(1-\alpha)u_i^{'}(y_i)} = \frac{p}{q}. \end{equation} Establecer bien $2$ como numerario ( $q = 1$ ), tenemos el siguiente sistema de ecuaciones que describe las elecciones óptimas de los consumidores $1$ y $2$ : \begin{equation} F_1(x_1, x_2, y_1, y_2, p, e_1, e_2, \alpha) = \frac{\alpha}{1 - \alpha}u_1^{'}(x_1) - pu_1^{'}(y_1) = 0 \\ F_2(x_1, x_2, y_1, y_2, p, e_1, e_2, \alpha) = px_1 + y_1 - pe_1 = 0 \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \\ F_3(x_1, x_2, y_1, y_2, p, e_1, e_2, \alpha) = \frac{\alpha}{1 - \alpha}u_2^{'}(x_2) - pu_2^{'}(y_2) = 0 \\ F_4(x_1, x_2, y_1, y_2, p, e_1, e_2, \alpha) = x_1 + x_2 - e_1 = 0 \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \\ F_5(x_1, x_2, y_1, y_2, p, e_1, e_2, \alpha) = y_1 + y_2 - e_2 = 0 \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \end{equation} Denomínelo sistema $(1)$ . Dado que la pregunta no dice qué solución específica del sistema (1) debemos considerar, simplemente opto por empezar fijando $e_1 = e_2 = 1$ y $\alpha = \frac{1}{2}$ . En este caso, la solución única del sistema $(1)$ es: \begin{equation} x_1 = y_1 = x_2 = y_2 = \frac{1}{2} \\ p = 1 \end{equation} Denomínelo sistema $(2)$ . Nos preguntamos cómo un cambio en $\alpha$ afecta a los paquetes de consumo de equilibrio a los precios, manteniendo $e_1$ y $e_2$ arreglado. Puesto que, en el punto $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, 1, 1, \frac{1}{2})$ , \begin{equation} det \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \frac{\partial F_1}{\partial x_2} & \frac{\partial F_1}{\partial y_1} & \frac{\partial F_1}{\partial y_2} & \frac{\partial F_1}{\partial p} \\ \frac{\partial F_2}{\partial x_1} & \frac{\partial F_2}{\partial x_2} & \frac{\partial F_2}{\partial y_1} & \frac{\partial F_2}{\partial y_2} & \frac{\partial F_2}{\partial p} \\ \frac{\partial F_3}{\partial x_1} & \frac{\partial F_3}{\partial x_2} & \frac{\partial F_3}{\partial y_1} & \frac{\partial F_3}{\partial y_2} & \frac{\partial F_3}{\partial p} \\ \frac{\partial F_4}{\partial x_1} & \frac{\partial F_4}{\partial x_2} & \frac{\partial F_4}{\partial y_1} & \frac{\partial F_4}{\partial y_2} & \frac{\partial F_4}{\partial p} \\ \frac{\partial F_5}{\partial x_1} & \frac{\partial F_5}{\partial x_2} & \frac{\partial F_5}{\partial y_1} & \frac{\partial F_5}{\partial y_2} & \frac{\partial F_5}{\partial p} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1^{''}(\frac{1}{2}) & 0 & -u_1^{''}(\frac{1}{2}) & 0 & -u_1^{'}(\frac{1}{2}) \\ 1 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & u_2^{''}(\frac{1}{2}) & 0 & -u_2^{''}(\frac{1}{2}) & -u_2^{'}(\frac{1}{2}) \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \neq 0, \fin. sistema $(1)$ puede resolverse para $x_1$ , $x_2$ , $y_1$ , $y_2$ , $p$ en función de $e_1$ , $e_2$ , $\alpha$ cerca de $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, 1, 1, \frac{1}{2})$ . La linealización del sistema $(1)$ es \begin{equation} \frac{\alpha}{1 - \alpha}u_1^{''}(x_1)dx_1 + 0dx_2 - pu_1^{''}(y_1)dy_1 + 0dy_2 - u_1^{'}(y_1)dp = 0de_1 + 0de_2 - \frac{1}{(1 - \alpha)^2}u_1^{'}(x_1)d\alpha \\ pdx_1 + 0dx_2 + 1dy_1 + 0dy_2 - (e_1 - \alpha)dp = pde_1 + 0de_2 + 0d\alpha \\ 0dx_1 + \frac{\alpha}{1 - \alpha}u_2^{''}(x_2)dx_2 + 0dy_1 - pu_2^{''}(y_2)dy_2 - u_2^{'}(y_2)dp = 0de_1 + 0de_2 - \frac{1}{(1 - \alpha)^2}u_2^{'}(x_2)d\alpha \\ 1dx_1 + 1dx_2 + 0dy_1 + 0dy_2 + 0dp = 1de_1 + 0de_2 + 0d\alpha \\ 0dx_1 + 0dx_2 + 1dy_1 + 1dy_2 + 0dp = 0de_1 + 1de_2 + 0d\alpha \end{equation} Denomínelo sistema $(3)$ . Establecer $de_1 = de_2 = 0$ . Primero resolvemos las dos últimas ecuaciones del sistema $(3)$ para $dx_1$ y $dy_1$ : \begin{equation} dx_1 = -dx_2 \\ dy_1 = -dy_2 \end{equation} Sustituya estas expresiones por $dx_1$ y $dy_1$ en las tres primeras ecuaciones del sistema $(3)$ en $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, 1, 1, \frac{1}{2})$ tenemos: \begin{equation} -u_1^{''}(\frac{1}{2})dx_2 + u_1^{''}(\frac{1}{2})dy_2 - u_1^{'}(\frac{1}{2})dp = -4u_1^{'}(\frac{1}{2})d\alpha \\ -1dx_2 - 1dy_2 - \frac{1}{2}dp = 0d\alpha \\ u_2^{''}(\frac{1}{2})dx_2 - u_2^{''}(\frac{1}{2})dy_2 - u_2^{'}(\frac{1}{2})dp = -4u_2^{'}(\frac{1}{2})d\alpha \end{equation} Multiplica la primera ecuación por $\frac{\frac{1}{2}}{u_1^{'}(\frac{1}{2})}$ y la tercera ecuación mediante $\frac{\frac{1}{2}}{u_2^{'}(\frac{1}{2})}$ tenemos: \begin{equation} \begin{pmatrix} -\frac{\frac{1}{2}u_1^{''}(\frac{1}{2})}{u_1^{'}(\frac{1}{2})} & \frac{\frac{1}{2}u_1^{''}(\frac{1}{2})}{u_1^{'}(\frac{1}{2})} & -\frac{1}{2} \\ -1 & -1 & -\frac{1}{2} \\ \frac{\frac{1}{2}u_2^{''}(\frac{1}{2})}{u_2^{'}(\frac{1}{2})} & -\frac{\frac{1}{2}u_2^{''}(\frac{1}{2})}{u_2^{'}(\frac{1}{2})} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx_2 \\ dy_2 \\ dp \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2d\alpha \\ 0 \\ -2d\alpha \end{pmatrix} \end{equation} Denomínelo sistema $(4)$ . Sea $r_i(z) = -\frac{zu_i^{''}(z)}{u_i^{'}(z)}$ sea la medida Arrow-Pratt de aversión al riesgo relativo. Tenemos que $r_i(z)$ es estrictamente positivo para $i = 1, 2$ . Sistema de reescritura $(4)$ como: \begin{equation} \begin{pmatrix} r_1(\frac{1}{2}) & -r_1(\frac{1}{2}) & -\frac{1}{2} \\ -1 & -1 & -\frac{1}{2} \\ -r_2(\frac{1}{2}) & r_2(\frac{1}{2}) & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx_2 \\ dy_2 \\ dp \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2d\alpha & 0 & -2d\alpha \end{pmatrix} \end{equation} Sea $R_1 = r_1(\frac{1}{2}) > 0$ , $R_2 = r_2(\frac{1}{2}) > 0$ y \begin{equation} D = det\begin{pmatrix} R_1 & -R_1 & -\frac{1}{2} \\ -1 & -1 & -\frac{1}{2} \\ -R_2 & R_2 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = R_1 + R_2 > 0 \end{ecuación} Entonces, por la regla de Cramer, tenemos \begin{equation} dx_2 = \frac{det\begin{pmatrix} -2d\alpha & -R_1 & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 & -\frac{1}{2} \\ -2d\alpha & R_2 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}}{D} = -\frac{R_1 + R_2}{D}d\alpha \\\\ {\} dy_2 = \frac{det \begin{pmatrix} R_1 & -2d\alpha & -\frac{1}{2} \\ -1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ -R_2 & -2d\alpha & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}}{D} = -\frac{R_1 + R_2}{D}d\alpha \\\\ {\} dp = \frac{det \begin{pmatrix} R_1 & -R_1 & -2d\alpha \\ -1 & -1 & 0 \\ -R_2 & R_2 & -2d\alpha \end{pmatrix}}{D} = \frac{4(R_1 + R_2)}{D}d\alpha \fin{ecuación} Por lo tanto, \begin{equation} \frac{\partial x_1}{\partial \alpha} = \frac{R_1 + R_2}{D} \\ \frac{\partial x_2}{\partial \alpha} = -\frac{R_1 + R_2}{D} \\ \frac{\partial y_1}{\partial \alpha} = \frac{R_1 + R_2}{D} \\ \frac{\partial y_2}{\partial \alpha} = -\frac{R_1 + R_2}{D} \\ \frac{\partial p}{\partial \alpha} = \frac{4(R_1 + R_2)}{D} \end{equation}

De nuevo, me gustaría saber si mi respuesta es correcta; especialmente el paso en el que escribo " dado que la pregunta no dice qué solución específica del sistema (1) debemos considerar, simplemente opto por empezar fijando $e_1 = e_2 = 1$ y $\alpha = \frac{1}{2}$ . "

Además, agradecería mucho que alguien me ayudara con la interpretación de la estática comparativa de que resulta de un aumento de $\alpha$ .

Answer 1

Si asume $e_1=e_2=1$ como usted ha hecho (pero no que $\alpha=1/2$ ), entonces la solución (como se da en la ecuación (48) en Simon y Blume) es:

$$ \begin{align*} x_1=y_1&=\alpha\\ x_2=y_2&=1-\alpha\\ p&=\frac{\alpha}{1-\alpha} \end{align*} $$

Dado que en este caso existen expresiones explícitas para la solución, no es necesario utilizar el teorema de la función implícita para hallar la estática comparativa con respecto a $\alpha$ . Basta con diferenciar las expresiones anteriores:

$$ \begin{align*} \frac{\partial x_1}{\partial \alpha}=\frac{\partial y_1}{\partial \alpha}&=1\\ \frac{\partial x_2}{\partial \alpha}=\frac{\partial y_2}{\partial \alpha}&=-1\\ \frac{\partial p}{\partial \alpha}&=\frac{1}{(1-\alpha)^2} \end{align*} $$

En $\alpha=1/2$ es lo mismo que has obtenido tú (aunque tus expresiones tienen un superfluo $d\alpha$ a la derecha).

---

Dado que un aumento de $\alpha$ aumenta el peso de la utilidad del bien $x$ los signos de los resultados de la estática comparativa no deberían sorprender. Un aumento de la deseabilidad de una buena $x$ aumenta su precio. Consumidores $1$ tiene toda la dotación de bien $x$ por lo que ahora es más rico, mientras que el consumidor $2$ es menos rico. De ahí que el consumidor $1$ Aumenta el consumo de ambos bienes por parte del consumidor $2$ cae el consumo.

---

No está claro si Simon y Blume quieren que resuelvas el problema por $e_1=e_2=1$ o más en general. Sin embargo, dado que la pregunta aparece en un capítulo sobre el teorema de la función implícita, probablemente quieren que la resuelvas cuando $e_1$ y $e_2$ no se especifican. (Es la igualdad de $e_1$ y $e_2$ que permite encontrar una solución explícita y hacer la estática comparativa con respecto a $\alpha$ fácil de calcular).

Answer 2

Sólo quiero añadir una observación, demasiado larga para un comentario, a las excelentes explicaciones de smcc.

Usted escribió

[...] si mi respuesta es correcta; especialmente el paso en el que escribo " ya que la pregunta no dice qué solución concreta del sistema (1) debemos considerar, simplemente empezar por establecer $e_1 = e_2 = 1$ y $\alpha = \frac{1}{2}$ .

Configuración $\alpha=1/2$ es correcto desde un punto de vista matemático: encuentras las derivadas justo alrededor de ese punto.

Sin embargo, no sólo este supuesto no es necesario, sino que hace que su respuesta sea demasiado restrictiva y sin mucho sentido desde el punto de vista económico: así sabrá cómo funciona el modelo justo en un punto.

En estática comparativa queremos conocer los signos de las derivadas más en general, y tener sobre todo resultados cualitativos para obtener resultados significativos desde el punto de vista económico.

Si fija $\alpha=1/2$ por ejemplo, que la derivada de $x_1$ con respecto a $\alpha$ es positivo para $\alpha=1/2$ ¿Y después? Para otros valores de $\alpha$ ¿cómo es la derivada? En principio puede tener cualquier signo, diferente de un punto a otro.

No es una información muy teórica ni muy útil desde el punto de vista económico. $^1$

Por lo tanto, supongo que en su ejercicio se piden resultados estáticos comparativos más generales.

Por lo tanto, evite las restricciones, y en sus cálculos sólo tome $e_1$ y $e_2$ como constante (la derivada requerida es sólo con respecto a $\alpha$ ) y que $\alpha$ sea una variable.

Por supuesto, la condición de que el determinante del jacobiano debe ser distinto de cero sigue siendo válida, pero simplemente sus resultados comparativos estáticos sólo se mantendrán en los puntos en los que este determinante sea distinto de cero.

Así los resultados comparativos que encuentre se mantendrían en todo el conjunto considerado, $\mathbb{R^n_+}$ Supongo excepto en los posibles puntos en los que el determinante jacobiano sea cero.

---

$^1$ Pensemos, por ejemplo, en un resultado clásico de la estática comparativa, los multiplicadores en macroeconomía. Imaginemos que sabemos que el multiplicador del gasto público sólo es positivo para un valor determinado, por ejemplo, si el gasto público es de 1.000 millones de euros. $1000$ . Para otros valores que no conoce. ¿Cómo puede ser esto útil para una política económica?