La propensión marginal al consumo y el multiplicador según Keynes

Question

En "Teoría general del empleo, el interés y el dinero", capítulo 10: La propensión marginal al consumo y el multiplicador , dice John Maynard Keynes:

Nuestra ley psicológica normal de que, cuando la renta real de la comunidad aumenta o disminuye, su consumo aumentará o disminuirá, pero no tan rápidamente, puede, por lo tanto, traducirse¾no, de hecho, con absoluta exactitud, sino sujeta a salvedades que son obvias y pueden enunciarse fácilmente de una manera formalmente completa en las proposiciones de que $\Delta C_w$ y $\Delta Y_w$ tienen el mismo signo, pero $\Delta Y_w >\Delta C_w$ donde $C_w$ es el consumo en términos de unidades salariales. Esto no es más que una repetición de la proposición ya establecida en el capítulo 3 anterior. Definamos, pues, $dC_w/dY_w$ como el propensión marginal al consumo .

Esta cantidad tiene una importancia considerable, porque nos indica cómo habrá que dividir el próximo incremento de la producción entre consumo e inversión. En $\Delta Y_w = \Delta C_w + \Delta I_w$ donde $C_w$ y $I_w$ son los incrementos del consumo y la inversión; de modo que podemos escribir $\Delta Y_w = k\Delta I_w$ donde $1-1/k$ es igual a la propensión marginal al consumo.

Llamemos $k$ el multiplicador de la inversión . Nos dice que, cuando se produce un incremento de la inversión agregada, la renta aumentará en una cantidad que es k veces el incremento de la inversión.

No entiendo cómo Keynes da este paso: "Para $\Delta Y_w = \Delta C_w + \Delta I_w$ donde $C_w$ y $I_w$ son los incrementos del consumo y la inversión; de modo que podemos escribir $\Delta Y_w = k\Delta I_w$ donde $1-1/k$ es igual a la propensión marginal al consumo".

¿Cómo es " $\Delta Y_w = k\Delta I_w$ " deducido de " $\Delta Y_w = \Delta C_w + \Delta I_w$ "?

Answer 1

Tu notación no es la más limpia, y mi notación es un poco inestable, pero esta es la idea. Es sólo álgebra resultante de conectar $$\partial C_W / \partial Y_W = 1-1/k \implies \mathbf{D} C_W = (1-1/k) \mathbf{D}Y_W$$ en la identidad $$\mathbf{D}Y_W = \mathbf{D} C_W+\mathbf{D} I_W.$$ Después de simplificar, verás que las dos ecuaciones son equivalentes.

Answer 2

Desde

$$\Delta Y_w= \Delta C_w+ \Delta I_w$$

tenemos

$$1=\frac{\Delta C_w}{\Delta Y_w}+\frac{\Delta I_w}{\Delta Y_w}$$

o

$$\frac{\Delta I_w}{\Delta Y_w}=1-\frac{\Delta C_w}{\Delta Y_w}$$

Configuración $1-1/k=\frac{\Delta C_w}{\Delta Y_w}$ (la propensión marginal al consumo), tenemos

$$\frac{\Delta I_w}{\Delta Y_w}=\frac{1}{k}$$

para que

$$\Delta Y_w=k\Delta I_w.$$

---

Alternativamente, sustituyendo $\Delta C_w=(1-1/k)\Delta Y_w$ en

$$\Delta Y_w= \Delta C_w+ \Delta I_w$$

da:

$$\Delta Y_w= \left(1-\frac{1}{k}\right)\Delta Y_w +\Delta I_w$$

o

$$0= -\frac{1}{k}\Delta Y_w +\Delta I_w$$

para que

$$\Delta Y_w=k\Delta I_w.$$