Fórmula analítica para la exposición descontada de una opción Put europea sobre una acción en medida del mundo real

Question

¿Existe una fórmula analítica para aproximar la exposición descontada de una European Put en una medida del mundo real? Esta es solo una fase inicial para poder evaluar la precisión de usar el método de regresión de Longstaff-Schwartz, utilizando un ejemplo simple. Me gustaría comparar los resultados de la regresión con la solución analítica para la exposición descontada de una European Put en un Stock.

Además, ¿está bien calcular el precio esperado de la acción en puntos futuros como $E[S(T_{k})] = S(T_{0}) * exp (\mu * T_{k})$ donde $T_{k}$ son puntos de tiempo futuro para $k = 1, 2, .. , M$, con $\mu$ siendo la deriva del mundo real de la acción, y posteriormente, usar la fórmula analítica de Black-Scholes para valorar un put usando $S(T_{k})$ calculado anteriormente - esto es para calcular la exposición esperada aproximada en un punto de tiempo futuro, $t_{k}$?

Gracias de antemano por cualquier idea al respecto.

Answer 1

El precio de venta en cualquier punto en el futuro $t$, con el precio de la acción $S(t)$, es simplemente $BS(T-t,S(t),K)$, es decir, el precio de black-scholes. En el contexto de opciones americanas, el "valor de continuación" siempre es el precio de black-scholes. Este es el valor que quiero que el algoritmo de Longstaff pueda aproximar.

El precio esperado de la acción en cualquier punto en el futuro $t$ es $S(t)=S(0)*exp(mu+vol^2/2)$.

Para responder a tu comentario, "¿puedo usar el precio esperado de la acción en un momento futuro t para ingresarlo en BS y obtener el precio de venta en este momento futuro, t? ¿Es correcto hacerlo?"

Respuesta corta, no.

Necesitas $E(BS(T-t,S(t))$ que es diferente a $BS(T-t,E(S(t))$.

La magnitud de esta diferencia depende de cuán convexa sea la función de BS con respecto a S(t), in-the-money, el tiempo hasta el vencimiento, casi todo, así que no creo que me sentiría cómodo con esta aproximación.

En la medida neutral al riesgo, la primera expectativa es un martingala, ¡así que su expectativa (obviamente descontada) es igual al precio de BS hoy!

Para obtenerla en la medida del mundo real puedes integrar este precio de BS contra la densidad del mundo real, tal vez numéricamente, no estoy seguro de que haya una solución cerrada disponible.