Ejercicio de fijación de precios neutral al riesgo

Question

I $S_T^2$ . $V_t$ de esta seguridad? (S sigue un movimiento browniano geométrico $dS = \mu Sdt + \sigma S dB$ )

Sé que $V_t = e^{-r(T-t)}E^Q[V_T]$ . Así que intenté calcular $E^Q[V_T]$ con el lema de Ito:

1. $dV/dt = 0$
2. $dV/dS = 2S$
3. $d^2V/dS^2 = 2$

Por tanto, el lema de Itos es $dV = (2\mu + \sigma^2)S^2 dt + 2\sigma S^2dB $ . Ahora, tengo que resolver esto: $\int_{t}^{T} S^2 = (2\mu + \sigma^2) \int_{t}^{T} S^2 ds + 2\sigma \int_{t}^{T} S^2dB $ pero no se como obtener el resultado $V_t = S^2e^{(2r + \sigma^2)(T-t)}$ .

¿Alguien puede ayudarme con este ejercicio?

Answer 1

Algunos comentarios:

La pregunta dice "usando el lema de Ito". También podemos hacerlo sin utilizando el Lemma de Ito simplemente calculando $E^Q(S_T^2)$ -- esto debería darte algo que concuerde con tu forma de $V_t$ a la que no sabías cómo llegar.

Para utilizar el Lemma de Ito en tu cálculo, no estoy del todo seguro de qué enfoque busca el ejercicio, pero si recuerdas la resolución de la SDE de GBM, puedes hacer algo similar aquí para obtener una expresión de la forma $$\log(S^2_T) - \log(S^2_t) = (2r-\sigma^2)\int_t^Tdu + 2\sigma \int_t^Td\tilde{W_u} $$

que está a pocos pasos de la solución que busca.