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¿Qué reglas se aplican a las integrales sobre un continuo de agentes en un equilibrio simétrico?

Supongamos que tengo un modelo con un continuo de agentes denotado por $i \in [0;1]$ . En un equilibrio simétrico, es decir, en un equilibrio en el que $x_i = x_j$ para todos $x,i$ y alguna expresión que sé que es válida: $$ \int^1_0 f(x_i) di = f \left( \int^1_0 x_i di \right) $$ El razonamiento es que $\int^1_0 f(x_i) di$ puede considerarse heurísticamente como una suma normalizada sobre los agentes, es decir, como: $$ \sum_i^n \frac{1}{n} f(x_i) $$ Que en un equilibrio simétrico es igual a $$ \frac{n}{n} f(x_i) = f(x_i) = f\left(\sum_i^n \frac{1}{n} x_i\right) $$ Lo cual puede considerarse heurísticamente como $f \left( \int^1_0 x_i di \right) $ .

¿Se equivoca mi heurística? También si alguien tiene una aproximación más rigurosa para entender este tipo de integrales por favor que me lo diga. He sido incapaz de encontrar una respuesta mejor que "piensa en la integral como una suma" buscando en este sitio web y en otros.

EDIT: Creo que esta igualdad se mantiene. Podemos pensar en $x$ en función de $i$ . En un estado estacionario simétrico, la función $x(i)$ es simplemente la función constante que devuelve la constante $x_{ss}$ Así pues $\int_0^1 f(x_i) di = \int^1_0 f(x_{ss}) di = f(x_{ss}) \int^1_0 di = f(x_{ss})$

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James Van Boxtel Puntos 1237

Como he escrito en la edición, creo que esta igualdad se mantiene. Podemos pensar en x como una función de i. En un estado estacionario simétrico la función $x(i)$ es simplemente la función constante que devuelve la constante $x_{ss}$ Así pues $$\int_0^1f(x_i)di=\int_0^1f(x(i))di=\int_0^1f(x_{ss})di=f(x_{ss})\int_0^1di=f(x_{ss})$$

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