¿diferencia entre multicolinealidad perfecta e imperfecta?

Question

Estoy luchando con dos ejemplos en los que quería identificar si se trata de un problema de multicolinealidad perfecta o más bien imperfecta. En primer lugar, una variable "gasto" se calcula mediante gasto = edad - educación - 6, mientras que la edad y la educación también son variables que se incluyen en la regresión. Se podría pensar que existe una multicolinealidad perfecta entre el gasto, la educación y la edad, ya que son una combinación lineal entre sí (inkl. -6). Sin embargo, en las soluciones se afirma que sólo se trata de un caso de multicolinealidad imperfecta. Sin embargo, en otro ejemplo en el que la variable "gasto público G" se calcula mediante la suma del consumo y la inversión (G = C + I), afirmamos que se trata de un caso de MC perfecta si el consumo y la inversión también se incluyen en la regresión. Me cuesta ver la diferencia entre estos dos casos. ¡Cualquier ayuda es muy apreciada!

Le deseo lo mejor.

Answer 1

La multicolinealidad perfecta significa que una variable explicativa es una combinación lineal de otras variables explicativas. Ahora bien, el gasto dado no es una combinación lineal de la edad y la educación (es una función afín de estas variables, no lineal). De hecho, no hay cifras $\alpha$ y $\lambda$ tal que $$\text{expenditure}=\alpha\cdot\text{age}+\lambda\cdot\text{education}.$$ En ese sentido, no existe una multicolinealidad perfecta. Sin embargo, se suele añadir a las variables explicativas una variable que siempre tiene el valor $1$ . Escribámoslo como $\mathbf{1}$ . El coeficiente de regresión de esa variable explicativa sería su constante. Si se incluye esta constante, como suele hacerse, el gasto puede expresarse como una combinación lineal de edad, educación y $\mathbf{1}$ . Efectivamente,

$$\text{expenditure}=1\cdot\text{age} +(-1)\cdot\text{education}+(-6)\mathbf{1}.$$ Así que en el escenario habitual con una constante de regresión, hay multicolinealidad perfecta.