Efecto de la retrotransformación de la media prevista de las rentabilidades logarítmicas para obtener la media prevista del precio

Question

Cuando se trata de predecir series temporales, por ejemplo el nivel de un índice bursátil para poder predecir los valores futuros de una opción, suele ser útil analizar los rendimientos logarítmicos frente a los niveles originales, ya que éstos son aditivos a lo largo del tiempo, pueden ser más estables numéricamente, etc.

Suponiendo que tratamos de predecir la media condicional de las rentabilidades logarítmicas, cuando la retrotransformamos al nivel del índice exponenciando la rentabilidad logarítmica multiperiodo (suma de rentabilidades logarítmicas a lo largo de un intervalo de tiempo), como se ha documentado ampliamente, obtenemos lo siguiente pas generalmente obtienen la media condicional, sino que obtienen la mediana condicional.

¿Hay alguna forma de evitarlo si nuestro objetivo es predecir la media condicional del índice en un momento futuro? $T$ ¿Sin utilizar métodos que parecen hacer suposiciones distributivas estrictas sobre nuestros datos/introducir más incertidumbre a través de suposiciones tales como aproximaciones que intentan convertir la media condicional de los rendimientos logarítmicos de nuevo en la media condicional del nivel del índice aplicando suposiciones de normalidad, etc.?

Answer 1

Supongamos que el índice bursátil viene dado por $S_t$ y usted forma un modelo de previsión para los log-rendimientos $r_{t+1}=\log(S_{t+1}/S_{t})$ . A continuación, le interesa conocer el nivel del índice bursátil previsto para el próximo período

$$\mathbb{E}_t[S_{t+1}]=\mathbb{E}_t[\exp(r_{t+1})]S_{t}$$

Si su modelo de previsión da una distribución para $r_{t+1}$ puedes resolver lo anterior analíticamente o mediante simulación. Por ejemplo, en el caso especial de una distribución normal para $r_{t+1}$ tenemos

$$\mathbb{E}_t[\exp(r_{t+1})]S_{t}= \exp(\mathbb{E}_t [r_{t+1}]+0.5\mathbb{V}ar_{t}[r_{t+1}])S_{t}$$

Alternativamente, se puede aplicar una aproximación de Taylor de segundo orden para obtener

$$\mathbb{E}_t[\exp(r_{t+1})]S_{t} \approx (1+\mathbb{E}_t[r_{t+1}]+0.5\mathbb{V}ar_{t}[r_{t+1}])S_{t}$$

por lo que aquí se necesita tanto la media condicional como la varianza de los log-rendimientos para resolver el nivel esperado del índice bursátil del siguiente periodo.

La última alternativa es formular el modelo de previsión para rentabilidades simples en lugar de rentabilidades logarítmicas, en cuyo caso se puede resolver el nivel esperado del índice bursátil simplemente como $$\mathbb{E}_t[\frac{S_{t+1}}{S_{t}}]S_{t}$$