Encuentre el conjunto de asignaciones eficientes de Pareto. $U_1 = -|x_1-2|$ y $U_2 = −|x_2 − 8|$

Question

Un profesor dispone de 20 horas para repartir entre dos doctorandos. Sean x1 y x2 el tiempo asignado a los dos estudiantes. La utilidad de cada estudiante es la siguiente $U_1 = |x_1 2|$ y $U_2 = |x_2 8|$

(a) Encuentre el conjunto de asignaciones eficientes de Pareto.

(b) ¿Cuál será la distribución óptima del tiempo si el profesor maximiza una función social dada por : $min\{U_1, U_2\}$

Conozco la caja de Edgeworth pero no sé si se aplica aquí ya que la utilidad de cada uno es en un solo bien que es el tiempo, la utilidad máxima para $U_1$ es cuando $x_1=2$ y para $U_2$ es cuando $x_2=8$ Todavía quedan 10 horas, así que las divido en partes iguales y obtengo $x_1=7$ y $x_2=13$ y $U_1=-5$ y $U_2=-5$ cualquier otra combinación perjudicará al menos a un individuo. Pero esto es sólo una asignación, ¿hay alguna más, también cómo resolverlo adecuadamente? No tengo ni idea de cómo resolver la parte (b).

Answer 1

Para responder a tu pregunta, no puedes utilizar la caja de Edgeworth en este tipo de configuración porque se utiliza para una economía en la que tenemos dos bienes y dos agentes. Sin embargo, existe una representación gráfica alternativa para resolver este tipo de problemas.

Para ver cómo llegamos al gráfico anterior, en primer lugar, trace la función de utilidad para el individuo 1, es decir, $U_1(x_1)$ . A continuación, trazamos la función de utilidad para el individuo 2, pero para obtener la imagen anterior, volteamos horizontalmente el gráfico de $U_2(x_2)$ . Este tipo de diagrama nos ayuda a encontrar el conjunto de asignaciones eficientes de Pareto. En la imagen anterior, observe que para $x_1\in[2,12]$ y $x_2\in[8,18]$ un aumento de la utilidad del individuo 1 conduce a una caída de la utilidad del individuo 2 y viceversa.

Por lo tanto, la parte resaltada en verde en el diagrama anterior es el conjunto de ubicaciones eficientes de Pareto, se puede escribir como $$\boxed{\mathcal{P}=\{(x_1,x_2)\in \mathbb{R}_+^2 \mid x_1\in [2,12] \land x_2=20-x_1\}}$$

Formalmente, el conjunto de Pareto Eficiente es el conjunto de todos los repartos que maximizan la utilidad de ambos individuos sujetos a la restricción de viabilidad. A continuación, utilizaré $\mathcal{F}$ para denotar el conjunto de todas las asignaciones factibles.

Un conjunto $\mathcal{P} \subseteq \mathcal{F}=\{(x_1,x_2)\in \mathbb{R}_+^2 \mid x_1+x_2=20\}$ se denomina conjunto de asignaciones Pareto Eficientes si para todo $(x_1^*,x_2^*)\in\mathcal{P}$ se cumple lo siguiente:

1. Dado $x_2^*$ , $x_1^*$ es una solución al problema $-$ $$\begin{align}\max_{x_1\geq 0} \quad & U_1=-|x_1-2| \\ \textrm{s.t.} \quad & x_1+x_2^*=20\end{align}$$

2. Dado $x_1^*$ , $x_2^*$ es una solución al problema $-$ $$\begin{align} \max_{x_2\geq0} \quad & U_2=-|x_2-8| \\ \textrm{s.t.} \quad & x_1^*+x_2=20\end{align}$$

Puede utilizar la definición anterior para resolver analíticamente la Eficiencia de Pareto.

Para la parte b) tenemos que resolver lo siguiente: $$\begin{align} \max_{x_1,x_2\geq 0} \quad & \min(U_1(x_1),U_2(x_2)) \\ \textrm{s.t.} \quad & x_1+x_2=20 \\ \\ \max_{x_1,x_2\geq 0} \quad & \min(-|x_1-2|,-|x_2-8|) \\ \textrm{s.t.} \quad & x_1+x_2=20 \\ \\ \max_{0 \leq x_1 \leq 20} \quad & \min(-|x_1-2|, -|12-x_1|) & [\text{using substitution}] \end{align}$$

El problema anterior se resuelve en $x_1=7$ . Así, el profesor elige $\boxed{(x_1,x_2)=(7,13)}$ con el fin de maximizar la función de bienestar social rawlsiana para la configuración anterior.