¿Por qué es integrable el proceso estocástico de la volatilidad del cuadrado del precio de una acción?

Question

Estoy haciendo un curso de matemáticas financieras (Ito-Integrales, Black-Scholes,...) y hay algo que no me acaba de quedar claro. Al construir nuestro modelo de precio de las acciones, la integral $\int_0^t \sigma_s\;dW_s$ , $\sigma_t$ siendo el proceso estocástico de volatilidad, fue la razón por la que tuvimos que construir el Ito-Integral. Así que establecimos toda la teoría y aquí en mis notas del curso se afirma que $\int_0^t \sigma_s\;dW_s$ es realmente un Ito-Integral lo que significa que $E\big[\int_0^t\sigma_s^2 ds\big] < \infty$ . Hasta aquí todo bien.

En este momento estamos tratando con procesos Ito porque nuestro modelo de precio de las acciones parece ser un proceso Ito. Según mis apuntes de clase, para que el modelo del precio de las acciones sea realmente un proceso Ito, la volatilidad $\sigma_t$ debe ser integrable al cuadrado, es decir $\int_0^t\sigma_s^2 ds < \infty$ . ¿Es así normalmente? En mis apuntes de clase no aparece en ninguna parte, así que quizá sea una implicación trivial de algunos de nuestros supuestos que he pasado por alto.

Answer 1

Se puede definir la integral de Ito sin la integrabilidad cuadrática, pero esto complica el trabajo con aplicaciones como la fijación de precios, por lo que en la práctica se suele asumir.

La cuestión de si esto es realmente cierto es bastante complicada y se reduce a la vieja pregunta de si la varianza de la rentabilidad de las acciones es finita o no. Mandelbrot ( https://www.jstor.org/stable/168611 ) argumentó que no lo es, lo que implica que la integrabilidad cuadrada no es realista. Sin embargo, creo que hoy en día la mayoría de la gente cree que la varianza es realmente finita, por lo que la condición sería razonable.

Otra cuestión es que este tipo de modelos suelen utilizarse para la fijación de precios y se aplican bajo la medida de riesgo neutro. Por lo tanto, el objetivo suele ser proporcionar un modelo realista para la valoración de opciones en lugar de modelizar los precios de las acciones con la mayor precisión posible.