Estaba releyendo el capítulo 6 de Modelización de la volatilidad estocástica por Lorenzo Bergomi. En la página 203, considera una varianza hacia adelante de la siguiente forma: $$ d\xi_t^T=\lambda_t^T dZ_t^T, $$ donde $Z_t^T$ es un movimiento browniano estándar para cada $T>t$ . Ahora quiere demostrar en la página 204 que: $$ dV_t=\frac{d \xi_t^T}{dT}\Biggr\rvert_{T=t} dt+\lambda_{t}^{t} dZ_t^t, $$ lo que significa que la deriva de un proceso estocástico de varianza $V_t^t=\xi_t^t$ es la pendiente en el momento $t$ del extremo corto de la curva de varianza hacia delante. No estoy del todo seguro de cómo llega a esta fórmula. Dice que basta con diferenciar la identidad $V_t=\xi_t^t$ pero no veo cómo una cosa lleva a la otra. ¿Puede ayudarme a averiguarlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La varianza instantánea $V_t = \xi_t^t$ . Así que $$ dV_t = \xi^{t + dt}_{t+dt} - \xi^t_t $$ Pero $$ \xi^{t + dt}_{t+dt} = \xi^{t + dt}_{t} + d \xi^{t + dt}_{t} $$ El segundo término a la derecha del signo igual, $d \xi^{t + dt}_{t}$ es una martingala, ya que se trata simplemente de la variación del valor de un crédito. Así que $$ dV_t = d \xi^{t + dt}_{t} + (\xi^{t + dt}_{t} - \xi^t_t) $$ Pero el segundo término a la derecha de la igualdad anterior es la estructura temporal de los créditos $\{\xi_t^T\}$ según lo observado en el momento $t$ para $T \in [t,\infty)$ . En otras palabras $$ (\xi^{t + dt}_{t} - \xi^t_t) = \left( \frac{ d\xi_t^T}{dT} dT \right)_{T=t} $$ Espero que esto ayude.
EDITAR Como apunte histórico, Bergomi no fue el primero en insinuar la dinámica de la varianza instantánea a partir de los swaps de varianza. Eso, según parece, fue Dupire en su artículo no publicado "Arbitrage pricing with stochastic volatility, BNP, 1992".
