Condiciones suficientes para la conectividad de los conjuntos de indiferencia de una relación de preferencia definida únicamente sobre un conjunto compacto y convexo

Question

Sea $\succsim$ una relación binaria completa, reflexiva y transitiva definida sobre $X$ un subconjunto compacto convexo no degenerado (es decir, no idéntico a un singleton) de $\mathbb{R}^n_{++}$ (el conjunto de vectores n-dimensionales con componentes positivas). Supongamos que $\succsim$ es continua para la topología de orden y estrictamente monótona (es decir, preserva el orden parcial habitual de $\mathbb{R}^n_{++}$ ).

¿Están conectados los conjuntos de indiferencia asociados?

Para una relación de preferencia definida en todo el cono convexo $\mathbb{R}^n_{++}$ las propiedades que introduje son efectivamente suficientes, como se muestra en este post ¿Son continuos los gráficos de curvas de indiferencia dada la definición preferente de continuidad?

¿Se le ocurre algún contraejemplo o, por el contrario, puede aportar la prueba de la suficiencia de estas condiciones?

Muchas gracias.

Answer 1

No. En realidad, las preferencias estándar restringidas a una línea presupuestaria no tendrán esta propiedad.

Para concretar, tomemos las preferencias sobre $\mathbb{R}^2_{+}$ definida por la función de utilidad dada por $u(x_1,x_2)=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}$ . Claramente, estas preferencias tienen todas las propiedades deseadas. Ahora dejemos que $$X=\{(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2_{+}\mid x_1+x_2=1\}.$$ Entonces la curva de indiferencia correspondiente a $(1,0)$ cuando se limita a $X$ es $\{(1,0),(0,1)\}$ . De hecho, las preferencias son estrictamente convexas, y cualquier otro punto de la línea debe ser, como combinación convexa adecuada, estrictamente mejor y, por tanto, no indiferente.