¿Por qué omitimos la integral cuando derivamos los c.o.f. en modelos de crecimiento a largo plazo como Romer (1990)?

Question

Por ejemplo al resolver el modelo de Romer (1990) en tiempo continuo, para la empresa productora de bienes finales, su función de producción es:

$ Y(t) = \int_{0}^{M(t)} (A(t) L_Y)^{1-\alpha} {x(i,t)}^{\alpha} di$ ,

donde $A(t)$ es la productividad laboral, $L_Y$ la mano de obra contratada para producir el bien final $Y$ y $x(i,t)$ es la cantidad utilizada del $i$ -ésimo bien intermedio, con $t$ ser tiempo.

$M(t)$ es la cantidad de diferentes bienes intermedios (no homogéneos).

Supongamos que el bien final $Y$ es el numerario, es decir, su precio se fija en $p_Y = 1$ .

Con ello, la función de beneficio viene dada por

$\Pi^Y = \int_{0}^{M(t)} (A(t) L_Y)^{1-\alpha} {x(i,t)}^{\alpha} di - w(t) L_Y - \int_{0}^{M(t)} p(i,t) x(i,t) di$

donde $w(t)$ es el salario y $p(i,t)$ es el precio de $x_i$ (el $i$ -ésimo bien intermedio).

La forma en que aprendí a obtener los f.o.c. para mi clase es

$\frac{\partial \Pi^Y}{\partial x_i} = \alpha (A(t) L_Y)^{1-\alpha} {x(i,t)}^{\alpha -1} - p(i,t) = 0$ .

Sin embargo, para hacer la diferenciación real, ¿no tendríamos que utilizar algún tipo de regla de la cadena que todavía nos dejaría con una integral, en lugar de diferenciar pretendiendo que no hay integral en absoluto?

Del mismo modo, con el $\frac{\partial \Pi^Y}{\partial L_Y}$ f.o.c.

Se lo pregunté a mi profesor y me dijo que es algo que hacen los economistas para resolver este tipo de modelos.

Como matemático, me gustaría saber la razón subyacente por la que eso funciona. Agradecería cualquier idea al respecto.

Este modelo apareció en mi tercer curso de Macroeconomía, que abarca muchos modelos de crecimiento a largo plazo, como Solow (el único que no implica suma/integración), Ramsey, Romer (1986), Lucas (1989), Aghion y Howitt (1992), así como éste [Romer (1990)].

Siempre que trabajemos con versiones de tiempo continuo de algunos de los modelos anteriores, tomaremos las f.o.c con el mismo método.

Recuerdo que respondí a una pregunta aquí hace meses, antes de llegar a este tema, que consistía en encontrar una f.o.c. para una función que implicaba integrales; y la discrepancia entre mi respuesta y la del libro de OP era que tenía integrales extra de la regla de la cadena, probablemente debido al mismo método.

Answer 1

La justificación de esta regla empírica es el cálculo de variaciones, concretamente con el derivado funcional .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que el problema es estático, por lo que para facilitar la notación eliminaré la dependencia de $t$ . En segundo lugar, cambiaré el nombre del índice de integración, ya que creo que de otro modo sólo sería una fuente de confusión. Por lo tanto tenemos,

$$ \Pi^Y(x) = \int_0^M(AL_Y)^{1- \alpha}x(j)^\alpha\mathrm{d}j - wL_Y - \int_0^Mp(j)x(j)\mathrm{d}j. $$

Tenga en cuenta que $\Pi^Y$ es un funcional es decir, toma la función $x$ y produce un número real (para cada $t$ pero, de nuevo, omitiré ese detalle). Ahora tomamos una función arbitraria $\phi(j)$ y perturbar este funcional en una pequeña cantidad $\varepsilon \phi(j)$ . Entonces, imaginamos tomar el límite como $\varepsilon$ tiende a cero. Esto define el derivado funcional de $\Pi^Y$

\begin{align} \frac{\delta \Pi^Y}{\delta x} &= \left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon} \Pi^Y (x + \varepsilon \phi)\right]_{\varepsilon = 0}\\ &= \left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon} \left(\int_0^M(AL_Y)^{1- \alpha}(x(j) + \varepsilon\phi(j))^\alpha \mathrm{d}j - wL_Y - \int_0^Mp(j)(x(j) + \varepsilon \phi(j))\mathrm{d}j\right)\right]_{\varepsilon = 0}\\ &= \left[\int_0^M\alpha(AL_Y)^{1- \alpha}(x(j) + \varepsilon\phi(j))^{\alpha - 1}\phi(j) \mathrm{d}j - \int_0^Mp(j) \phi(j)\mathrm{d}j\right]_{\varepsilon = 0} \\ &= \int_0^M\alpha(AL_Y)^{1- \alpha}x(j)^{\alpha - 1}\phi(j) \mathrm{d}j - \int_0^Mp(j) \phi(j)\mathrm{d}j \\ & = 0. \end{align} donde pongo esta derivada funcional a cero (por lógica FOC estándar). Por lo tanto,

$$ \int_0^M \left[\alpha (AL_Y)^{1 - \alpha}x(j)^{\alpha - 1} - p(j)\right]\phi(j)\mathrm{d}j = 0 $$ Dado que esto debe ser cierto para todos $\phi$ basta con que el integrando sea idénticamente igual a cero (esto significa que es cero para todo $j$ y, en particular, para $j = i$ ). Así se obtiene el FOC.

Creo que otra justificación formal podría funcionar aproximando la integral por una suma, restringiendo la elección a funciones escalonadas, maximizando como se haría normalmente con una suma, y luego tomando el límite.

Espero que le sirva de ayuda.