¿Cómo obtener una función de utilidad indirecta?

Question

Estoy trabajando en esta cuestión para resolver función de utilidad . En indirecta La función de utilidad es la siguiente:

$V(p_1,p_2,w)=(\frac {1}{p_1} + \frac {1}{p_2})*w$

w significa ingresos, $p_1$ y $p_2$ son los precios de cada mercancía

Probé el método de derivar la función de demanda hicksiana hallando las derivadas parciales de la renta por el precio de cada bien, pero me atasqué al hallar la relación de precios ya que el producto diferenciado tiene la forma de $X^c= {Vp_2-Vp_1p_2\over (p_1+p_2)^2}$

Se agradece cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Necesitamos resolver la función de utilidad dada la función de utilidad indirecta (IUF).

La función de utilidad indirecta es: $V(p_1,p_2,w)=w\left(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}\right)$

A partir de IUF podemos escribir la función de gasto como: $E(p_1,p_2,U)=\frac{Up_1p_2}{p_1+p_2}$

Utilizando el lema de Shepherd podemos hallar las funciones de demanda hicksianas. Denotemos los dos bienes por $x$ y $y$ respectivamente.

Así, $x^h(p_1,p_2,U)=\frac{\partial E}{\partial p_1}=\frac{Up_2^2}{(p_1+p_2)^2}$ y $y^h(p_1,p_2,U)=\frac{\partial E}{\partial p_2}=\frac{Up_1^2}{(p_1+p_2)^2}$

Dado que estamos tratando de encontrar una función de utilidad de la forma $U(x,y)$ necesitamos utilizar la expresión para $x^h$ y $y^h$ obtenido anteriormente para resolver $U(x,y)$

deje $p=\frac{p_1}{p_2}$ y reescribir $x^h$ y $y^h$ como: $$\begin{eqnarray} x=x^h=\frac{U}{\left(\frac{p_1}{p_2}+1\right)^2}=\frac{U}{(p+1)^2} \tag{1} \\ y=y^h=\frac{U}{\left(1+\frac{p_2}{p_1}\right)^2}=\frac{Up^2}{(p+1)^2} \tag{2} \end{eqnarray}$$

sustituyendo $(1)$ en $(2)$ nos da la relación: $$p^2=\frac{y}{x} \implies p=\sqrt{\frac{y}{x}}\tag{3}$$

Por último, sustituyendo $(3)$ en $(1)$ nos da: $x=\frac{Ux}{(\sqrt x +\sqrt y)^2}$

Reescribiendo lo anterior obtenemos: $$\boxed{U(x,y)=(\sqrt x+ \sqrt y)^2}$$