Resolución de la ecuación estocástica en diferencias en el modelo neokeynesiano (derivación del libro de texto FTPL)

Question

En la "Teoría fiscal del nivel de precios" de Cochrane, tengo problemas con la siguiente derivación. Tomemos la primera línea, donde $\pi_t$ y $i_t$ son procesos aleatorios adaptados a $\mathcal{F}_t$ ; la segunda línea supuestamente sigue. $L$ es el operador de desfase, por lo que $L x_t = x_{t-1}$ y $L^{-1}x_t = x_{t+1}$ para cualquier proceso aleatorio $x_t$ .

La implicación problemática es la siguiente:

$$E_t \Big[ (1- \lambda_1^{-1} L)(1 - \lambda_2 L^{-1}) \pi_{t+1} \Big] = \sigma \kappa \lambda_1^{-1} i_t \\ $$

$$\Rightarrow \pi_{t+1} = E_{t+1} \frac{\lambda_1^{-1}}{(1- \lambda_1^{-1} L)(1 - \lambda_2 L^{-1})} \sigma \kappa i_t + \frac{1}{(1-\lambda_1^{-1}L)} \delta_{t+1},$$

donde $\delta_{t+1}$ es un proceso aleatorio adaptado a $\mathcal{F}_{t+1}$ con $E_t[\delta_{t+1}] = 0$ para todos $t$ .

¿Qué operación matemática se realiza para llegar a la segunda línea? Sospecho que la forma en que funciona la derivación es que, efectivamente, se pueden aplicar polinomios de retardo que implican sólo los rezagos hacia adelante "a través de la $E_t$ " debido a la ley de la expectativa iterada $E_t[E_{t+1}] = E_t$ . Creo que puedo demostrarlo, y dado este resultado puedo derivar el paso intermedio $$E_t \Big[ (1 - \lambda_1^{-1} L) \pi_{t+1} \Big] = E_t \Big[ \lambda_1^{-1} (1 - \lambda_2 L^{-1})^{-1} \sigma \kappa i_t \Big].$$ Puedo intentar deducir el resto directamente, pero llego a un resultado diferente. En concreto, obtengo

$$E_t \pi_{t+1} = E_t \Big[ \lambda_1^{-1} (1 - \lambda_2 L^{-1})^{-1} \sigma \kappa i_t \Big] + \lambda_1^{-1} \pi_t$$

$$\Rightarrow \pi_{t+1} = E_t \Big[ \lambda_1^{-1} (1 - \lambda_2 L^{-1})^{-1} \sigma \kappa i_t \Big] + \lambda_1^{-1} \pi_t + \delta_{t+1},$$

donde $\delta_{t+1}$ es sólo el error de expectativa $\pi_{t+1} - E_t\pi_{t+1}$ y por lo tanto tiene las propiedades requeridas. Sustituyendo iterativamente por $\pi_t$ hacia atrás utilizando esta ecuación se obtiene

$$\pi_{t+1} = (1 - \lambda_1^{-1} L)^{-1} E_t \Big[ \lambda_1^{-1} (1 - \lambda_2 L^{-1})^{-1} \sigma \kappa i_t \Big] + (1 - \lambda_1^{-1} L)^{-1} \delta_{t+1}.$$

Por lo tanto, lo único que no entiendo es cómo mover el polinomio de retardo dentro de la expectativa en el primer término en RHS, y también donde el $E_{t+1}$ viene de.

Answer 1

Asumiré a lo largo que $|\lambda_1| > 1$ y $|\lambda_2| < 1$ ya que, de lo contrario, las sumas divergirían.

Empezar por

$$\mathrm{E}_t \left[(1 - \lambda_1^{-1} L)(1 - \lambda_2L^{-1})\pi_{t + 1}\right] = \sigma\kappa\lambda_1^{-1}i_t$$ Esto equivale a

$$(1 - \lambda_1^{-1} L)(1 - \lambda_2L^{-1})\pi_{t + 1} = \sigma\kappa\lambda_1^{-1}i_t + \delta_{t + 1},$$ donde $\delta_{t+1}$ es tal y como lo ha definido en su pregunta. Ahora opere en ambos lados por $(1 - \lambda_2L^{-1})^{-1}(1 - \lambda_1^{-1} L)^{-1}$ para obtener

$$\pi_{t + 1} = (1 - \lambda_2L^{-1})^{-1}(1 - \lambda_1^{-1} L)^{-1}\sigma\kappa \lambda_1^{-1}i_t + (1 - \lambda_2L^{-1})^{-1}(1 - \lambda_1^{-1} L)^{-1}\delta_{t + 1}$$

Ahora, observa que los operadores inversos conmutan (¿por qué?). Entonces, el segundo término del lado derecho es

$$\begin{align} (1 - \lambda_2L^{-1})^{-1}(1 - \lambda_1^{-1} L)^{-1}\delta_{t + 1} &= (1 - \lambda_1^{-1} L)^{-1}(1 - \lambda_2L^{-1})^{-1}\delta_{t + 1} \\ &= (1 - \lambda_1^{-1} L)^{-1} \sum_{j = 0}^\infty \lambda_2^jL^{-j}\delta_{t + 1}. \end{align}$$ Operando en ambos lados por $\mathrm{E}_{t+1}$ y recordando que $\delta_{t +1}$ se adapta a $\mathcal{F}_{t + 1}$ y media cero, tenemos $$\begin{align} \mathrm{E}_{t+1}\left[(1 - \lambda_2L^{-1})^{-1}(1 - \lambda_1^{-1} L)^{-1}\delta_{t + 1}\right] & = \mathrm{E}_{t + 1}\left[(1 - \lambda_1^{-1} L)^{-1} \sum_{j = 0}^\infty \lambda_2^jL^{-j}\delta_{t + 1}\right] \\ &= (1 - \lambda_1^{-1} L)^{-1}\mathrm{E}_{t + 1}\left[ \sum_{j = 0}^\infty \lambda_2^jL^{-j}\delta_{t + 1}\right] \\ &= (1 - \lambda_1^{-1} L)^{-1}\delta_{t + 1}. \end{align}$$

De este modo, podemos operar en ambos lados de la expresión para $\pi_{t + 1}$ arriba con $\mathrm{E}_{t + 1}$ (señalando también que $\pi_{t+1}$ es $\mathcal{F}_{t + 1}$ -measurable) para obtener la expresión buscada.

Espero que le sirva de ayuda.