La pregunta es un poco confusa para mí, pero supongo que esto es lo que tenemos que hacer.
Podemos considerar la situación como un juego dinámico en el que la empresa competidora da por sentado el precio y toma una decisión sobre la oferta y, a continuación, la empresa dominante decide cuánto suministrar y qué precio fijar. Disponemos de la siguiente información:
Demanda del mercado $: \quad p=10-Q$ donde, $Q=q_f+q_d$
Funciones de costes $: \quad c_d(q_d)=2q_d \; , \; c_f(q_f)=3q_f$
Denotemos la empresa dominante como $d$ y las empresas competitivas como $f$
$\bullet$ Conjunto de jugadores: $\{d,f\}$
$\bullet$ Juegos de acción de los jugadores: $A_d=\{(p,q_d)\in[0,10]\times [0,7]\}$ y $A_f=\{q_f\geq 0\}$
$\bullet$ retribuciones: $\pi_i:A_d \times A_f \to \mathbb{R} $ donde $i \in \{d,f\}$
Como se trata de un juego dinámico podemos resolver lo anterior utilizando la inducción hacia atrás
Fase 1: El problema de la empresa competidora $$\begin{align} &\max_{q_f\geq0} \quad \pi_f=pq_f-3q_f \\ \text{gives: } & \quad q_f^*(p)\in\begin{cases}\phi &\text{if }p>3 \\ \mathbb{R}_+ & \text{if }p=3 \\ \{0\} & \text{if }p<3\end{cases} \end{align}$$
Fase 2: El problema de la empresa dominante
$$\begin{align} \max_{0 \leq p \leq 10\\ 0 \leq q_d \leq 7} \quad & \pi_d=pq_d -2q_d \\ \textrm{s.t. } \quad & p=10-(q_f+q_d) \\ & q_f(p)\in\begin{cases}\phi &\text{if }p>3 \\ \mathbb{R}_+ & \text{if }p=3 \\ \{0\} & \text{if }p<3\end{cases} \\ \\ \end{align}$$
Para $p>3:$ Existe un exceso de oferta, ya que la empresa competitiva querría suministrar tantas unidades como pudiera por $p>3$ . Debido al exceso de oferta, no podemos tener $p>3$ en equilibrio.
Para $p<3:$ La demanda del mercado supera las 7 unidades, es decir, $Q>7$ pero la oferta del mercado es como máximo 7 porque la empresa competitiva suministra 0 unidades por $p<3$ y la empresa dominante puede suministrar como máximo 7 unidades debido a la restricción de capacidad, en símbolos $Q>7\geq q_f+q_d$ . Debido al exceso de demanda, no existe equilibrio para el juego anterior en el que $p<3$
Para $p=3:$ La demanda del mercado es $Q=7$ y la oferta del mercado puede obtenerse resolviendo la etapa 2 para $p=3$ $$\begin{align} \therefore \quad \max_{0 \leq q_d \leq 7} \quad &\pi_d=3q_d-2q_d=q_d \\ \textrm{s.t. } \quad & 3=10-q_f-q_d,\\ & q_f(p=3)\in \mathbb{R}_+ \end{align}$$ Obsérvese que el objetivo es creciente en la producción propia, por lo que lo anterior se maximiza en $q_d=7$ . Aquí la demanda del mercado es igual a la oferta del mercado, por lo que $p=3$ es un precio de equilibrio.
Por lo tanto, $\boxed{(p^*,q_d^*,q_f^*)=(3,7,0)}$ es el equilibrio perfecto de subjuego (SPE) del juego anterior. Además, en el SPE $\pi_d=7$ y $\pi_f=0$
