En t preprint en arXiv (una versión revisada de la discutida en un post ici ) demostramos que existen tres errores matemáticos en el marco de valoración de opciones de Black, Scholes y Merton. Como resultado, la fórmula de valoración de opciones parece incorrecta incluso bajo los supuestos idealizados del mercado de capitales de Black y Scholes. Como se muestra con más detalle en el preprint, los tres errores matemáticos son:
i) La condición de autofinanciación está mal especificada (es decir, no expresa el concepto de reequilibrio de la cartera sin entradas o salidas de fondos externos);
ii) Incluso si se asume que la condición de autofinanciación está correctamente especificada (es decir, si se elude el error (i)), existe una circularidad en la prueba que Black y Scholes proporcionan para su afirmación de que una cartera reequilibrada de acciones y bonos sin riesgo puede replicar una opción;
iii) Incluso si también se asume que la cartera reequilibrada replica una opción (es decir, si se obvian los errores (i) y (ii)), la EDP de Black y Scholes implica que existen trayectorias en las que la cartera reequilibrada no se autofinancia o no replica una opción.
Para facilitar un poco el debate, centrémonos en el error (i) y dejemos de lado los (ii) y (iii). Ciñéndonos a la notación de Black y Scholes, el preprint resume que las derivaciones de la fórmula de valoración de opciones consideran una cartera replicante de $\alpha_{t}$ acciones con valor $x_{t}$ et $\beta_{t}$ bonos sin riesgo con valor $b_{t}$ . Estas derivaciones definen el valor de esta cartera como: \begin{equation} w_{t}=\alpha_{t}x_{t}+\beta_{t}b_{t}, \end{equation} y definir el retorno como: \begin{equation}\label{return} \int_{0}^{t}dw_{s}=\int_{0}^{t}\alpha_{s}dx_{s}+\int_{0}^{t}\beta_{s}db_{s}. \end{equation} Puesto que aplicando la regla del producto de la integración estocástica al valor de la cartera se obtiene: \begin{equation}\label{prsi} \int_{0}^{t}dw_s=\int_{0}^{t}\alpha_{s}dx_s+\int_{0}^{t}d\alpha_{s}x_{s}+\int_{0}^{t}d\alpha_{s}dx_{s}+\int_{0}^{t}\beta_{s}db_{s}+ \int_{0}^{t}d\beta_{s}b_{s}+ \int_{0}^{t}d\beta_{s}db_{s}, \end{equation} la definición anterior de la rentabilidad de la cartera implica que: \begin{equation}\label{ctsfc} \int_{0}^{t}d\alpha_{s}x_{s}+ \int_{0}^{t}d\alpha_{s}dx_{s}+\int_{0}^{t}d\beta_{s} b_{s}+ \int_{0}^{t}d\beta_{s}db_{s}=0, \end{equation} que se conoce como la condición de autofinanciación en tiempo continuo. Se cree que esta condición refleja que la cartera se reequilibra sin entradas ni salidas de fondos externos, basándose en una motivación que se remonta a Merton (1971) . El preprint muestra, sin embargo, que hay un error de sincronización en el análisis de Merton, y que este error hace que su condición de autofinanciación esté mal especificada. Es decir, la última ecuación no refleja el concepto de reequilibrio de la cartera sin entradas o salidas de fondos externos (y la rentabilidad de una cartera que se reequilibra sin entradas o salidas de fondos externos no es, por tanto, igual a la segunda ecuación). ¿Es correcto nuestro análisis del error (i) en el preprint, o cometemos un error nosotros mismos en alguna parte?
