Permítanme comenzar señalando que a unos tres párrafos del final del documento de Black-Scholes está la revelación de que los autores intentaron validarlo y no logró ser significativamente diferente del azar y nunca ha pasado una prueba de validación.
Su argumento es probablemente correcto, pero también por una razón diferente. El cálculo de Ito viola la inversa del Teorema del Libro Holandés cuando no se cumple la suposición de que todos los parámetros son conocidos. Como nadie conoce los verdaderos parámetros, la inversa del Teorema del Libro Holandés apoyaría claramente la idea de que algunas coberturas no son coberturas y es posible asegurar una victoria segura sobre todos los precios.
Es probable que el autor se haya fijado en una de las estructuras matemáticas que permiten arbitrar a un usuario del cálculo Ito. De hecho, tengo cinco ejemplos que uso para la formación que he trabajado.
Sin leer el artículo, mi suposición es que el autor puede haber encontrado una sexta forma de atacar las soluciones basadas en Ito, o es una variante de las cinco que ya he encontrado. Dubbins y Savage escribieron un libro entero sobre ello, un libro sobre desigualdades estocásticas. Creo que fue en los años 70.
La respuesta corta es que para cualquier juego con fijación de precios frecuencial o estimación de puntos, existe un subconjunto de contratos mayor que cero, en algunos casos el 100% de todos los contratos, donde es posible construir un arbitraje puro donde alguien puede ganar en todos los estados de la naturaleza. He propuesto un cálculo alternativo que deja de lado la suposición de Ito de que los parámetros son conocidos, pero no puedo publicarlo. Cumple tanto con el Teorema del Libro Holandés como con su inverso. También propongo una conjetura de que existe un cálculo frecuentista, pero puede que no.
Hice que un teórico de la medida me ayudara a demostrar o refutar la conjetura y no pudimos. No está claro en este momento si puede existir un cálculo estocástico no bayesiano que no asuma que los parámetros son conocidos.
Un aspecto de las decisiones frecuentistas es que son algoritmos mecanicistas. Es la construcción por diseño. Una regla de decisión es intencionalmente un algoritmo. Puedo ver los posibles ataques al documento habiendo ido por este camino desde hace una década, pero, al no haberlo leído, no lo sé. Sin embargo, pueden estar argumentando contra el diseño axiomático y eso sería un no-empieza.
Por diseño axiomático no me refiero a los supuestos económicos, sino a cosas como los axiomas de probabilidad de Kolmogorov o la construcción axiomática de decisiones matemáticas de Wald.
Tienen razón en que el presupuesto de tiempo continuo es un problema intrínseco. Ya se sabe en teoría de la probabilidad que se puede establecer un arbitraje seguro si esa es su metodología de construcción.
No es un problema si los parámetros no tienen que ser estimados, pero es fatal si lo hacen. Como he dicho, Dubbins y Savage escribieron un libro entero sobre eso y el primer capítulo está dedicado en su mayor parte a por qué no se puede usar eso. Al menos, si mi memoria no falla, esa es la parte del libro en la que se encuentra.
Sin leer el documento, debería ser posible demostrar definitivamente, como se sabe que es el caso desde 1955, que el presupuesto de tiempo continuo garantiza una oportunidad de arbitraje al menos un porcentaje del tiempo.
Si yo estuviera escribiendo el artículo y no supiera nada sobre el argumento del Libro Holandés, procedería así.
En primer lugar, a menos que los actores tengan cuidado, podría existir una combinación convexa de contratos en la que existiría un arbitraje puro si se aceptaran todos los contratos ofrecidos.
En segundo lugar, si algunos actores tienen la equivalencia matemática del daltonismo y, por tanto, no pueden utilizar un método de detección de la presencia de arbitraje, entonces algunas de esas combinaciones se llenarán realmente.
Mi tercer argumento sería encontrar uno y publicarlo. Como los métodos frecuentistas son "daltónicos" al arbitraje, por teorema, no son tan difíciles de encontrar.
Véase, por ejemplo:
de Finetti, Bruno (1937), "Foresight: Its Logical Laws, Its Subjective Sources", en Henry E. Kyburg y Howard E.K Smokler (eds.), Studies in Subjective Probability, Huntington, NY: Robert E. Kreiger Publishing Co.
--- (1972), Probabilidad, Inducción y Estadística, Nueva York: Wiley.
Kemeny, John (1955), "Fair Bets and Inductive Probabilities ", Journal of Symbolic Logic, 20 (3): 263-273.
