Derivación de una ecuación en Banerjee "Un modelo simple de comportamiento de manada" (1992)

Question

Estoy leyendo "Un Modelo Simple de Comportamiento de Rebaño" de Banerjee (1992). Un resumen breve del modelo es el siguiente.

Existe una probabilidad $\alpha$ de que cada persona reciba una señal indicándole que el asentimiento óptimo real manteniendo $i^{*}$ es $i^{\prime}$. La señal no tiene por qué ser verdadera, y la probabilidad de que sea falsa es $1-\beta$. Si es falsa, entonces asumimos que está uniformemente distribuida en el intervalo $[0,1]$ y por lo tanto no proporciona información sobre cuál es realmente $i^{*}$.

Además, las decisiones se toman de forma secuencial. Si la persona no tiene señal, entonces imitará al primer tomador de decisiones e invertirá en el mismo activo. Si tiene una señal y la primera persona ha elegido $i = 0$, entonces seguirá su señal. Si tiene una señal y la primera persona no ha elegido $i = 0$, tiene un problema: ella sabe que la primera persona había recibido una señal y que es tan probable que su señal esté en lo correcto como que lo esté su propia señal, por lo tanto, la segunda persona será indiferente entre seguir la señal de la primera persona y seguir su propia señal, por lo tanto, la segunda persona en este caso seguirá su propia señal.

Más adelante en el documento se menciona que la expresión para la probabilidad de que nadie en la población elija la opción correcta, por más grande que sea la población, está dada por:

$$ [1-\alpha(1-\beta)]^{-1}(1-\alpha)(1-\beta) . $$

¿Alguien podría ayudarme en la derivación de esta ecuación? ¡Ya que estoy un poco atascado... Gracias de antemano!

[Actualización]:

¿Podría ser esta la solución?

La probabilidad de que $i$ sea la primera persona que reciba una señal es: $$ (1-\alpha)^{i-1} $$ La probabilidad de que $k$ personas reciban señales incorrectas seguidas hasta que alguien no reciba señal es: $$ \alpha^k(1-\beta)^k(1-\alpha) $$ Entonces, la probabilidad de que el primer grupo de personas que reciben señales seguidas reciban todas señales incorrectas es: $$ \begin{aligned} & \sum_{i=1}^{\infty}(1-\alpha)^{i-1} \sum_{k=1}^{\infty} \alpha^k(1-\beta)^k(1-\alpha) \\ & =\alpha(1-\alpha)(1-\beta) \sum_{i=0}^{\infty}(1-\alpha)^i \sum_{k=0}^{\infty} \alpha^k(1-\beta)^k \\ & =\alpha(1-\alpha)(1-\beta) \frac{1}{\alpha} \frac{1}{1-\alpha(1-\beta)} \\ & =\frac{(1-\alpha)(1-\beta)}{1-\alpha(1-\beta)} \end{aligned} $$

Answer 1

Para obtener la probabilidad requerida, solo necesitamos sumar la probabilidad de todos los eventos con la historia inicial del siguiente tipo. La razón es que después de cualquier historia inicial de este tipo, no es posible elegir $i^*$ por nadie, e incluso aquellos con la señal correcta después ignorarán su señal y se unirán al rebaño.:

donde $k$ va desde $0$ hasta $\infty$, y $j$ puede tomar cualquier valor desde $0$ hasta $k$. Entonces la probabilidad requerida es: \begin{eqnarray*} && {\color{red}{\alpha(1-\beta)(1-\alpha)}}\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=0}^{k}(1-\alpha)^j(\alpha(1-\beta))^{k-j} \\ &= & {\color{red}{\alpha(1-\beta)(1-\alpha)}}\displaystyle\sum_{j=0}^\infty\sum_{k=j}^{\infty}(1-\alpha)^j(\alpha(1-\beta))^{k-j}\\ &= & {\color{red}{\alpha(1-\beta)(1-\alpha)}}\displaystyle\sum_{j=0}^\infty (1-\alpha)^j \sum_{k=j}^{\infty}(\alpha(1-\beta))^{k-j} \\ &= & {\color{red}{\alpha(1-\beta)(1-\alpha)}}\displaystyle\sum_{j=0}^\infty (1-\alpha)^j \sum_{t=0}^{\infty}(\alpha(1-\beta))^{t} \\ &=& {\color{red}{\alpha(1-\beta)(1-\alpha)}}\displaystyle \left(\dfrac{1}{\alpha}\right)\left(\dfrac{1}{1-\alpha(1-\beta)}\right) \\ &=& \dfrac{(1-\beta)(1-\alpha)}{1-\alpha(1-\beta)} \end{eqnarray*}