¿Qué es el "problema del punto fijo"?

Question

Entiendo qué es el punto fijo, pero no entiendo qué es el "problema" del punto fijo. ¿Se resuelve con la 'iteración del punto fijo'? Estoy leyendo un artículo, y el artículo menciona que la inicialización por defecto es tal que el código alcanza el punto fijo para la economía base después de una iteración. ¿Por qué importa el punto fijo en la optimización dinámica?

Answer 1

En matemáticas a punto fijo es, en general, en una cartografía de un espacio en sí mismo, un punto que se corresponde consigo mismo.

En particular, los puntos fijos de las funciones $f(x)$ son valores de las variables de la función tales que

$$f(x)=x.$$ Se puede hablar de punto fijo para la función de $\mathbb{R}^N$ a $\mathbb{R}^N$ (o, en general, de un espacio métrico en sí mismo), o para funciones entre espacios topológicos.

Los teoremas del punto fijo son una familia de teoremas sobre la existencia de puntos fijos de una función. Los teoremas más conocidos son el Teorema de la contracción para funciones de un espacio métrico en sí mismo , y Teorema del punto fijo de Brouwer en topología.

En sistemas dinámicos discretos que desde un punto de vista matemático son secuencias por recurrencia, hablamos también de puntos fijos. Son puntos de equilibrio , en el sentido de que el sistema dinámico, una vez que ha llegado a ese punto, permanece aquí, es un "estado de reposo" del sistema.

Y se puede ver que son punto fijo de una función, volviendo a conectar con la definición anterior.

En realidad, un sistema dinámico discreto, dada una función $f$ de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$$ ^{(1)}$ se describe recursivamente como sigue:

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_n=f(x_{n-1}) \;\,\; \;\,\;n=1, 2, ......\; \;\,\;\; \;\,\;(1)$$ $$x_0=p \;\;\;\;\;p\in \mathbb{R}$$

donde $p$ es t a condición inicial.

A punto fijo del sistema en relación con $p$ es un punto fijo de $f$ que es un punto $x$ donde

$$x_n=x_{n-1}=f(x_{n-1}).$$

Un poind fijo también se denomina punto estacionario .

Y es un punto de equilibrio del sistema, en el sentido de que el sistema, una vez ha alcanzado el punto fijo $x_n$ da siempre el mismo valor $x_n$ permanece aquí para siempre (por supuesto, si no hay un factor exógeno perturbador que lo aleje del equilibrio).

Y, del mismo modo, el análisis numérico habla de "iteración de punto fijo", como método para encontrar un punto fijo de una función. El concepto es análogo al de los sistemas dinámicos discretos.

Cito de Wikipedia "Puntos fijos":

"En análisis numérico La iteración en punto fijo es un método de calcular los puntos fijos de una función. En concreto, dada una función $f$ con el mismo dominio y codominio, un punto $x_{0}$ en el dominio de $f$ la iteración del punto fijo es $$x_n=x_{n-1}=f(x_{n-1});\,\; \;\,\;\,\; \;\,\;$$ que da lugar a la secuencia $x_ 0, x_ 1, x_ 2, …$ de aplicaciones de funciones iteradas $x_ 0 , f (x_0),$ $f (f( x_0 )) , … $ que puede converger a un punto x. Los puntos que vuelven al mismo valor después de un número finito de iteraciones de la función se denominan puntos periódicos. Un punto fijo es un punto periódico con período igual a uno.

Lamentablemente, no he podido consultar el artículo que enlazas porque no es de libre acceso.

Pero usted dijo que

la inicialización por defecto es tal que el código alcanza el fijo para la economía de referencia después de una iteración.

así que supongo que el concepto es el mismo que en el análisis numérico.

Pero aparte de la computación en el análisis numérico, la idea conceptual clave es que en un sistema dinámico discreto un punto fijo es un punto de equilibrio, en el sentido descrito anteriormente.

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(1) Por supuesto, también podría haber sistemas dinámicos en varias variables.

Answer 2

Al fin y al cabo, lo que se busca es un equilibrio. Un equilibrio es esencialmente un punto fijo. En el equilibrio, todos los agentes maximizan sus beneficios, es decir, optimizan (dinámica o estáticamente) sus estrategias. Es decir, una intersección de esas estrategias óptimas es un equilibrio, o un punto fijo.