Gamma PnL al cubrir con volatilidad implícita: ¿dónde está el PnL a precios de mercado?

Question

Es bien sabido que la cobertura con volatilidad implícita implica un PnL:

$0.5*(^{2}_r^{2}_i)S^{2}*_{i}dt$

En el documento de Wilmott ( http://web.math.ku.dk/~rolf/Wilmott_QueAlmuerzoGratis.pdf ), implican que el PnL colectivo de dicha estrategia es la integral de la expresión anterior a lo largo del tiempo.

Sin embargo, esto parece suponer que la volatilidad implícita del mercado se mantiene constante a $_i$ . De lo contrario, también nos encontraríamos con el PnL a precios de mercado regido por la sensibilidad de la opción a la volatilidad implícita, entre otros términos:

$C_{}* (d)+.....$

¿Por qué no se tiene en cuenta en este análisis la pérdida de valor a precios de mercado?

Answer 1

Considere tous función $f(S(t),K,t,T,\{x_i(t)\})$ con recompensa $(S(T) - K)_+$ cuando $t=T$ donde $\{x_i(t)\}$ son otras variables/parámetros para que en $t=0$ puede elegirlos (es decir, calibrarlos) para que su función se ajuste al precio de mercado de la opción: $f(S(0),K,0,T,\{x_i(0)\}) = C^{market}(t=0)$ .

Como el beneficio de la opción no depende de $\{x_i(T)\}$ , si Si decide fijarse únicamente en el valor de la opción al vencimiento, puede mantener fijas estas otras variables y cubrir únicamente los cambios en $S_t$ . En este caso, de acuerdo con la "realidad" elegida (es decir, "valoración según modelo" en lugar de "valoración según mercado"), la variación del valor de la opción es la siguiente $$ df = \theta dt + \Delta dS + \frac{1}{2} \Gamma (dS)^2 $$ ya que has elegido que todas las demás variables/parámetros sean constantes. $dS$ es cualquier cambio que se observe en el precio de las acciones.

Sin embargo, si decide / o se ve obligado a "mirar" el valor de la opción en el mercado antes de la expiración entonces tu P/L delta-hedge será igual: $$ P\&L = C^{market}(t=0) + \int_0^u \left( \theta_t dt + \frac{1}{2} \Gamma_t (dS_t)^2 \right) - C^{market}(t=u) $$

Answer 2

Si asumes que los vols $\sigma_r,\sigma_i$ son funciones deterministas del tiempo su fórmula (1) sigue siendo válida $$\tag{1} dV(t)=\frac{1}{2}(\sigma^2_r(t)-\sigma_i^2(t))\,\Gamma^i(t)\,dt. $$ Integrando se obtiene la cobertura acumulada PnL $$ V(t)=\frac{1}{2}\int_0^t(\sigma^2_r(s)-\sigma_i^2(s))\,\Gamma^i(s)\,ds. $$ Se podría ampliar la derivación al caso de vol $\sigma_r(t)$ aplicando la fórmula de Ito al precio de compra con dos variables de estado $C(t,S(t),\sigma_r(t))\,.$ Sin embargo, no estoy seguro de la utilidad práctica de un resultado tan general. La fórmula (1) es válida aproximadamente para intervalos de tiempo pequeños cuando $\sigma_r(t)$ puede suponerse casi determinista.

Answer 3

El sigma i es la volatilidad implícita que bloqueó cuando compró la opción de compra. Nunca se mueve. Lo único que se mueve es el sigma realizado durante el reequilibrio ¿entendido?