La derivación de la relación vega / gamma

Question

En Lorenzo Bergomi, Modelado de Volatilidad Estocástica, Capítulo 5 Apéndice A.1, la Ecuación (5.64), como se muestra a continuación, parece asumir que $\hat\sigma$ es constante. Si ese es el caso, ¿por qué nos molestamos en invocar la fórmula de Feynman-Kac? Simplemente podemos usar la fórmula de Black-Scholes.

Answer 1

Solo quiero agregar la observación de que la solución de PDE de precios puede escribirse formalmente como $$ C(\tau) = e^{\tau \mathcal H} C(0) \quad (*) $$ donde $\tau$ es el tiempo hasta el vencimiento y $\mathcal H$ es un operador diferencial. Por ejemplo, en el mundo BS con tasa de interés cero es $$ \mathcal H = \tfrac12 \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2}{\partial S^2} $$ Así que $U(\tau) = e^{\tau \mathcal H}$ es un 'operador de evolución'.

En el caso de BS, $\sigma$ no es una variable sino un parámetro. Por lo tanto, puedes diferenciar ambos lados de la ecuación (*) muy rápidamente para obtener la relación vega gamma notando que el operador $U(\tau)$ depende del parámetro $\sigma$. También podrías reintroducir dividendos y tasas para obtener sensibilidades a $r$ y $q$ de la misma manera.

En modelos de volatilidad estocástica también puedes mostrar de manera similar que la sensibilidad del precio de la opción al parámetro de correlación es la vanna del modelo de volatilidad estocástica.

Answer 2

Aunque es cierto que la volatilidad es constante en este escenario, la relación es válida para todas las condiciones terminales o funciones de pago -- más allá del típico $(\pm(S-K))_+$ -- siempre y cuando la función de pago sea independiente de la volatilidad. Ciertamente podemos escribir las expresiones integrales de la vega y gamma (de funciones de pago arbitrarias) y encontrar su relación. Pero parece más simple tratar directamente con la EDP. Además, esta metodología se puede utilizar para encontrar otras derivadas parciales de alto orden.