Prueba del Método de Box-Muller

Question

Aquí queremos mostrar que el método Box-Muller genera un par de variables aleatorias gaussianas estándar independientes. Pero no entiendo por qué se usa el determinante. Para mí, cuando tienes dos variables independientes, la función de densidad conjunta es solo el producto de las dos funciones de densidad. ¿Alguien me puede explicar el significado del determinante aquí? Por favor.

Answer 1

Se puede ver que $Y_1^2+Y_2^2=-2\log{X_2}$ y que $Y_2 \over Y_1$ $=\tan(2\pi X_1)$.

Por lo tanto $X_1={1 \over{2 \pi}}{\arctan{Y_2 \over Y_1}}$ y $X_2=\exp{-(Y_1^2+Y_2^2) \over 2}$.

Tomando la diferencial para obtener $dX_1= {1 \over{2\pi}}{{-Y_2dY_1+Y_1dY_2} \over{Y_1^2+Y_2^2}}$.

De manera similar, $ dX_2= {\exp {-{Y_1^2+Y_2^2} \over 2}(Y_1 dY_1 + Y_2dY_2 )}$.

Por lo tanto, el Jacobiano $\mathbb J$$({{X_1,X_2} \over {Y_1,Y_2}})$ =$1\over {2 \pi}$ $\exp{-(Y_1^2+Y_2^2) \over 2}$.

Para las funciones de densidad de probabilidad, como $f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)$ $\mathbb J$$({{X_1,X_2} \over {Y_1,Y_2}}) =$ $f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)$,

esto da $ f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)=$ $\sqrt{1 \over{2 \pi}}$ $\exp{-y_1^2 \over 2}$ $\sqrt{1 \over{2 \pi}}$ $\exp{-y_1^2 \over 2}$

mostrando que $Y_1,Y_2$ son variables aleatorias gaussianas independientes.

Answer 2

Dejemos $Z = \sqrt{-2\ln(X_1)}$, tenemos

\begin{align} \mathbb{P}\left[Z \leq z\right] = \mathbb{P}\left[-2 \ln(X_1) \leq z^2\right] = \mathbb{P}\left[\ln(X_1) \geq -\frac{z^2}{2}\right] = 1 - \mathbb{P}\biggl[X_1 < \exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)\biggr]\, \end{align} $X_1$ está definido uniformemente en $[0, 1]$, por lo tanto $$\mathbb{P}[Z\leq z] = 1 - \int_0^{\exp(-z^2/2)} \, dt = 1 - \exp\left(-\frac{z^2}{2}\right).$$ De hecho $$f_Z(z)=\begin{cases} \exp\left(-\frac{z^2}{2}\right),\quad z>0\\ 0\qquad\qquad,\quad \text{o.w} \end{cases}$$ dejemos $W=2\pi X_2$. Así, $X_2$ está distribuido uniformemente en $[0,1]$, por lo que $$f_W(w)=\begin{cases} \frac{1}{2\pi},\quad 0< w\le 2\pi\\ 0\,\,\,\,, \quad\text{o.w} \end{cases}$$ Dado que $X_1$ y $X_2$ son independientes, $Z$ y $W$ deben ser independientes. Tenemos $$f_{Z,W}(z,w)=f_{Z}(z)f_{W}(w)= \begin{cases} \frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right),\quad z>0\quad \text{y}\quad 0< w\le 2\pi\\ 0\qquad\qquad\quad\,,\quad \text{o.w} \end{cases}$$ Definamos la función $q:(0,\infty)\times(0,2\pi]\to \mathbb{R}^2$ tal que $q(z,w)=(z\cos(w),z\sin(w))$ entonces $$\mathbb{P}_{Y_1,Y_2}=\mathbb{P}_{Z,W}\circ q^{-1}$$ en otras palabras $$q_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)=\frac{f_{Z, W}(q^{-1}(y_1, y_2))}{|\det(q'(q^{-1}(y_1, y_2)))|}$$ podemos mostrar fácilmente $$z=\sqrt{y_1^2+y_2^2}$$ entonces $$q_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2) = \frac{1}{2 \pi} \exp\left(-\frac{y_1^2 + y_2^2}{2}\right)$$