Incorporación del riesgo idiosincrático como factor de fijación de precios con GMM

Question

Supongamos que nos dan un conjunto de datos con $T$ periodos de tiempo y $N$ activos o carteras. Nos interesa estimar y probar un CAPM aumentado o un modelo multifactorial con un factor adicional: la volatilidad idiosincrática del activo. En el caso del CAPM aumentado, el modelo es $$ \mu^*_{i}=\beta_i \mu^*_{m}+\gamma\sigma_i^2 \tag{4} $$ donde $\mu^*_i:=(\mu_{i,t}-r_{f,t})$ es el $i$ exceso de rendimiento esperado, $\mu^*_{m}:=(\mu_{m,t}-r_{f,t})$ es el exceso de rentabilidad esperado del mercado y $\sigma_i^2$ es el riesgo idiosincrático del activo $i$ con respecto al CAPM. $\color{red}{^*}$ Eso es, $\sigma_i^2$ es la varianza residual de una regresión de series temporales $$ r^*_{i,t}=\alpha_i+\beta_i r^*_{m,t}+\varepsilon_{i,t}. \tag{2} $$ Podríamos estimar el modelo al estilo Fama-MacBeth, como se expone en este hilo . Sin embargo, quiero hacerlo utilizando el GMM . ¿Cómo lo configuro?

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$\color{red}{^*}$ Para simplificar, $\mu^*_i$ , $\mu^*_{m}$ y $\sigma_i^2$ se suponen constantes a lo largo del tiempo.

Answer 1

Aquí está mi conjetura:

Si estimáramos un CAPM simple por GMM, podríamos utilizar la ecuación $(12.23)$ de Cochrane "Valoración de activos" (2005) sección 12.2 (p. 241). En su notación, los momentos son $$ g_T(b) = \begin{bmatrix} E(R^e_t-a-\beta f_t) \\ E[(R^e_t-a-\beta f_t)f_t] \\ E(R^e-\beta \lambda) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{12.23} $$ donde $R^e_t=(R^e_{1,t},\dots,R^e_{N,t})'$ es un vector de rendimientos excesivos de activos individuales, $\beta=(\beta_1,\dots,\beta_N)'$ es un vector de betas, $f_t$ es el exceso de rentabilidad del factor y $\lambda=E(f)$ es el valor esperado del exceso de rentabilidad del factor. Las dos primeras filas corresponden a regresiones de series temporales para $N$ activos (una regresión por activo) que facilitan la estimación del $\beta$ vector, por lo que en realidad hay $2N$ condiciones. Si he entendido bien, la tercera fila corresponde a otra $N$ condiciones (una por activo) de rendimientos promediados en el tiempo que se utilizan para probar el modelo: $$ E_T(R^{ei})=\beta_i' \lambda, \quad i=1,2,\dots,N. \tag{12.10'} $$ ( $(12.10)$ se especifica para muchos factores potenciales, pero $(12.23)$ considera el caso simple de un único factor, por lo que el vector $\beta'$ se convierte en escalar $\beta$ y lo mismo vale para $\lambda$ .)

Si incorporamos el riesgo idiosincrático como otro factor, obtenemos lo siguiente: $$ g_T(b) = \begin{bmatrix} E(R^e_t-a-\beta f_t) \\ E[(R^e_t-a-\beta f_t)f_t] \\ E[(R^e_t-a-\beta f_t)^2-\sigma^2] \\ E(R^e-\beta\lambda-\gamma\sigma^2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{*} $$ donde $\sigma^2=(\sigma^2_1,\dots,\sigma^2_N)'$ es un vector de varianzas idiosincrásicas. La tercera fila facilita la estimación del $\sigma^2$ y la cuarta fila vuelve a ser un conjunto de $N$ condiciones para probar el modelo. ¿Tiene sentido?