Supongamos que nos dan un conjunto de datos con $T$ periodos de tiempo y $N$ activos o carteras. Nos interesa estimar y probar el CAPM o un modelo multifactorial. Tomemos el CAPM para simplificar: $$ r^*_{i,t}=\alpha_i+\beta_i r^*_{m,t}+\varepsilon_{i,t} \tag{1} $$ donde $r^*_i:=(r_{i,t}-r_{f,t})$ es el $i$ exceso de rentabilidad y $r^*_m:=(r_{m,t}-r_{f,t})$ es el exceso de rentabilidad del mercado. Según el CAPM, $\alpha_i=0$ para cada $i$ .
Podríamos estimar el modelo al estilo Fama-MacBeth. Es decir, primero obtendríamos las betas a partir de regresiones de series temporales para cada activo y luego estimaríamos los alfas a partir de regresiones transversales para cada periodo de tiempo. O podríamos hacerlo utilizando GMM. (Supongo que también hay otras alternativas).
Ahora me gustaría añadir el riesgo idiosincrático como factor de fijación de precios candidato: $$ r^*_{i,t}=\alpha_i+\beta_i r^*_{m,t}+\gamma\sigma_i^2+\varepsilon_{i,t} \tag{2} $$ donde $\sigma_i^2$ es el riesgo idiosincrático del activo $i$ . (Esto es sólo un ejemplo. No estoy diciendo que crea que el riesgo idiosincrático tiene un precio real).
Creo que tengo una idea sobre cómo podríamos incorporarlo al estilo Fama-MacBeth. $\sigma_i^2$ se estimaría junto con $\beta_i$ en las regresiones de series temporales $(1)$ (primer paso) y luego se utilizan en las regresiones transversales (segundo paso). (Aplicación de $(1)$ ya que el primer paso podría parecer erróneo debido a la omisión de $\sigma_i^2$ . Sin embargo, $\sigma_i^2$ no está correlacionado con el regresor $r^*_{m,t}$ y puede suponerse que no está correlacionado con $\alpha_i$ como medio de hacer $\alpha_i$ identificable. Creo que por eso está bien). Sin embargo, me pregunto si existe una forma natural de incorporarlo utilizando el MMG. Dado que $\sigma_i^2$ no es observable, no veo muy bien cómo podríamos estimar $(2)$ mediante GMM.
