Calibración Hull-White / Fijación hipotética de precios máximos

Question

Tengo una pregunta sobre la calibración del modelo Hull-White (Vasicek ampliado) con datos de bonos. Como ustedes saben, y se indica en Mercurio (2005), el precio de los bonos cupón cero en el modelo de Hull y White (1994);

$P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r(t)}$

donde

$B(t,T)=\frac{1}{a}\left[1-e^{-a(T-t)}\right]$

y

$A(t,T)=\frac{P(0,T)}{P(0,t)}e^{\left(B(t,T)f(0,t)-\frac{\sigma^{2}}{4a}(1-e^{-2at})B(t,T)^{2}\right)}$

Mi pregunta es ¿qué ocurre si t=0? ¿Qué pasa si $f(0,0)$ ¿en este caso? ¿Qué $A(0,T)$ conduce a ?

Me pregunto si es posible ajustar los datos del mercado de bonos (cero y con cupón) para obtener parámetros. La mayoría de los trabajos calibran los datos utilizando caplets/floorlets/inflation indexed swaps etc. Pero no hay ninguno de ellos en el mercado que me gustaría trabajar. Así que todo lo que tengo son bonos nominales e indexados a la inflación.

Jarrow Yildirim dispone de 7 parámetros para fijar el precio de los derivados indexados a la inflación. Al ajustarlos para bonos nominales e indexados a la inflación tendré 4 de ellos. Lo que queda es $\sigma_I$ y correlaciones entre nominal, real e inflación. ¿Alguna idea de cómo obtenerlos?

Para que te hagas una idea general, tengo que explicártelo: Mi objetivo principal es fijar el precio de hipotéticos tapones utilizando únicamente datos de precios de bonos nominales y bonos indexados a la inflación.

Cualquier pista sobre este asunto será muy apreciada.

Answer 1

Primera pregunta

He votado en contra de la respuesta de David porque $f(0,0) \neq 0$ (en términos generales). Y es que es el tipo de cambio a plazo instantáneo a la vez $t=0$ es decir $f(0,0) = f(0, 0, \Delta t)= r(0)$ por lo que es el valor inicial del proceso de tasa corta.

En la práctica, puede establecer $\Delta t$ como un día (en años) y calcule el tipo a plazo (continuamente compuesto) a partir de su curva de rendimientos.

Segunda pregunta

Como se muestra en varios trabajos o como en Rebonato (2018) [1], se puede opciones de precio sobre bonos cupón cero incluso calibrando sus dos parámetros $a, \sigma$ sólo en la curva de rendimiento pero no se garantiza que contenga información suficiente para contabilizar los costes futuros de la cobertura. de su opción. Le remito de nuevo a Rebonato (2002) [2]: no hay fijación de precios de derivados sin cobertura (dinámica como en Black-Scholes o estática). Los precios negociados de las opciones incorporan los costes futuros de la cobertura de su opción, por lo que si calibra su modelo sobre los precios negociados y seto siguiendo sus prescripciones modelo todo tendrá sentido (es decir, no habrá arbitrajes).

En este caso, no dispone de precios de las opciones para calibrar el modelo. Puedes calibrarlo con otras cantidades. ¿Contienen la información correcta? No puede estar seguro.

Referencias

[1] Rebonato, Riccardo. Bond Pricing and Yield Curve Modeling: A Structural Approach. Cambridge University Press, 2018.

[2] Rebonato, Riccardo. Volatilidad y correlación: el coberturista perfecto y el zorro. John Wiley & Sons, 2005.

Answer 2

En realidad tienes más de una pregunta aquí.

Primera pregunta: Precio del bono en el modelo Hull White donde t=0

En $t$ se refiere a la fecha de inicio del bono y $T$ es el vencimiento del bono. Si $t=0$ estás valorando un bono que empieza ahora (o spot) y el forward se $f(0,0)=r(0)$ y $P(0,0)=1$

(Gracias a LePiddu por señalarlo)

Segunda pregunta:

Lamentablemente, no creo que pueda fijar el precio de "límites hipotéticos utilizando únicamente bonos nominales y bonos indexados a la inflación".

La razón por la que el modelo de Jarrow Yildirim tiene todos esos parámetros es porque modela la inflación y los tipos nominales con una analogía de moneda extranjera, donde tienes 3 procesos:

• Proceso para los tipos nominales (tipo nacional en el mundo FX)
• Proceso para los tipos reales (tipos extranjeros en el mundo FX)
• Proceso del IPC (tipos de cambio en el mundo FX)

Piense en ello como un HullWhite 1F para el tipo nominal, un HullWhite 1F para el tipo real y un browniano geométrico para el IPC.

Para hacerse una idea de por qué no se pueden fijar precios máximos sólo con los precios de los bonos, consideremos el caso de un HW1F para una única divisa. Si sólo tienes bonos, no tienes instrumentos para calibrar la volatilidad y la reversión media. Por lo tanto, aunque el modelo pueda ajustarse a la estructura temporal inicial, no será posible valorar la opcionalidad (es decir, los caps y las swaptions).

Imagine una simulación de Monte Carlo en la que la media de sus trayectorias le diera los precios iniciales de sus bonos (tipos), pero que, dependiendo de los demás parámetros (reversión y vols), tuviera dispersiones diferentes y, por tanto, fijara precios distintos para las opciones.