Encontrar el conjunto de asignaciones óptimas de Pareto

Question

Me piden que encuentre el conjunto de asignaciones óptimas de Pareto en una economía en la que hay dos agentes, a saber $1$ y $2$ con las siguientes funciones de utilidad y dotaciones.

$$u_1({x_1}^1,{x_2}^2)= \beta log({x_1}^1)+(1-\beta)log({x_2}^2) \ ,\ {\omega}_1 = (0,1) \ \beta \in (0,1) \ $$ $$u_2({x_2}^1,{x_2}^2)=min\{ {x_2}^1,{x_2}^2 \} \ ,\ {\omega}_2 = (1,0)$$

Sé que puedo mostrar el conjunto de PO en el Edgeworth Box. Sin embargo, ¿cómo voy a mostrar el conjunto de PO en algebraicamente? ¿Debo intentar dividir los casos para la función de utilidad del segundo agente?

Gracias de antemano.

Edita: Cada agente $i$ tiene las preferencias representadas por la siguiente función de utilidad, $u_i$ y la dotación ${\omega}_i$ . ${x_i}^t$ denota la cantidad de bien $t$ consumido por el agente $i$ . Digamos que los precios del bien 1 y del bien 2 se denotan por $P_1$ y $P_2$ respectivamente. Se me pide que muestre el conjunto de asignaciones óptimas de Pareto en este entorno.

Answer 1

Interpretación 1 : Dados los datos del problema, creo que te interesa una economía de intercambio puro con externalidades, es decir,

• $u_1(x_1,y_2) = x_1^\beta y_2^{1-\beta}$ , $u_2(x_2,y_2) = \min(x_2,y_2)$ donde $\beta\in (0,1)$
• $\omega_1=(0,1)$ y $\omega_2=(1,0)$

El conjunto de asignaciones factibles viene dado por $\mathcal{F} = \{((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+|x_1+x_2=1 \ \wedge \ y_1+y_2=1\}$

Proposición 0: El conjunto de asignaciones eficientes de Pareto no es vacío.

Prueba: Consideremos $((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = ((0,0),(1,1))$ . Esta asignación es eficiente desde el punto de vista de Pareto, ya que si pasamos a cualquier otra asignación factible, eso hará necesariamente que los individuos $2$ peor.

Proposición 1: El conjunto de asignaciones eficientes de Pareto viene dado por el conjunto $\{((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in\mathcal{F}|y_2=1\}$

Prueba: Consideremos una asignación factible $((x_1,y_1),(x_2,y_2))$ y supongamos $y_2 < 1$ retenciones. Claramente, $((x_1,0),(x_2,1))$ es factible y es una mejora de Pareto sobre $((x_1,y_1),(x_2,y_2))$ como $1$ mejorará sin hacer $2$ peor. Por lo tanto, $y_2=1$ es una condición necesaria para la eficiencia. Si consideramos el conjunto $\{((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in\mathcal{F}|y_2=1\}$ se obtienen las siguientes posibilidades de utilidad $u_1^{1/\beta}+u_2=1$ donde $0 \leq u_1 \leq 1$ que es una curva estrictamente decreciente en el $(u_1,u_2)-$ espacio estableciendo que $y_2=1$ junto con la viabilidad da como resultado el conjunto de asignaciones eficientes.

Interpretación 2 (Si cometió un error tipográfico al escribir utilidades): Dada una economía de intercambio puro,

• $u_1(x_1,y_1) = x_1^\beta y_1^{1-\beta}$ , $u_2(x_2,y_2) = \min(x_2,y_2)$ donde $\beta\in (0,1)$
• $\omega_1=(0,1)$ y $\omega_2=(1,0)$

El conjunto de asignaciones factibles viene dado por $\mathcal{F} = \{((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+|x_1+x_2=1 \ \wedge \ y_1+y_2=1\}$

Proposición 0: El conjunto de asignaciones eficientes de Pareto no es vacío.

Prueba: Consideremos $((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = ((1,1),(0,0))$ . Esta asignación es eficiente desde el punto de vista de Pareto, ya que si pasamos a cualquier otra asignación factible, eso hará necesariamente que los individuos $1$ peor.

Proposición 1: Si una asignación factible $((x_1,y_1),(x_2,y_2))$ satisfacer $x_2\neq y_2$ entonces no es Pareto eficiente.

Prueba: Consideremos una asignación factible $((x_1,y_1),(x_2,y_2))$ y supongamos $x_2 < y_2 \leq 1$ retenciones. Por lo tanto, $x_1 = 1-x_2 > 0$ . Claramente, $((x_1,y_1+y_2-x_2),(x_2,x_2))$ es factible y Pareto Superior a $((x_1,y_1),(x_2,y_2))$ . Por lo tanto, $((x_1,y_1),(x_2,y_2))$ no es Pareto eficiente. Del mismo modo, por un argumento simétrico, una asignación factible $((x_1,y_1),(x_2,y_2))$ satisfaciendo $y_2 < x_2 \leq 1$ tampoco es Pareto eficiente.

Equivalentemente, en la proposición 1, hemos demostrado que si una asignación es Pareto eficiente entonces satisface la condición $x_2 =y_2$ . Ahora demostraremos que lo contrario también es cierto.

Proposición 2: Cualquier asignación factible $((x_1,y_1),(x_2,y_2))$ satisfaciendo $x_2 = y_2$ es Pareto eficiente.

Prueba: Obsérvese que la suma de las utilidades de los dos individuos en todas las asignaciones factibles que satisfacen $x_2= y_2$ es igual a $u_1+u_2=x_1^\beta y_1^{1-\beta} + \min(x_2,y_2) = x_1^\beta x_1^{1-\beta} + x_2 = 1$ y es máxima entre todas las asignaciones factibles (utilizando el argumento de la proposición 1), por lo que se deduce que todas las asignaciones que satisfacen $x_2 = y_2$ son eficientes en Pareto.

Answer 2

Probablemente, la forma más sencilla de obtener todas las asignaciones óptimas de Pareto es maximizar una suma ponderada de utilidades (de los dos agentes) sujeta a las restricciones de recursos: $$ \max_{x_1^1, x_1^2, x_2^1, x_2^2} \alpha u_1(x_1^1, x_1^2) + (1-\alpha) u_2(x_2^1, x_2^1) \text{ s.t. } x_1^1 + x_2^1 = 1 \text{ and } x_1^2 + x_2^2 = 1. $$ Las asignaciones PO pueden obtenerse variando $\alpha$ en el intervalo $[0,1]$ .

Como el segundo agente tiene preferencias de Leontief, cualquier asignación de PO tendrá $x_2^1 = x_2^2$ . Por lo tanto sustituyendo tenemos: $$ \max_{x_2^1} \alpha u_1(1 - x_2^1, 1 - x_2^1) + (1-\alpha) u_2(x_2^1, x_2^1) \text{ s.t. } x_{2}^1 \le 1 $$

Answer 3

Para que la notación sea más clara, vamos a renombrar las mercancías como $x,y$ y los agentes como $A,B$ . Con ello, las variables son $x_A,x_B,y_A,y_B$ .

Con esta notación, las utilidades son:

$U_A = \beta \log(x_A) + (1-\beta) \log(y_A)$

$U_B = \min\{x_B,y_B\}$

Encontramos la curva del contrato maximizando la utilidad de un agente sujeto al nivel de utilidad dado del otro agente y a las restricciones de dotación.

Resolvamos este problema de optimización:

$\max \beta \log(x_A) + (1-\beta) \log(y_A)$

s.t. $\min\{x_B,y_B\} = \overline{U}$

$x_A + x_B = 1$

$y_A + y_B = 1$

Considere un punto en el que $x_B \neq y_B$ en la curva de indiferencia para $U_B = \overline{U}$ . Entonces $x_B > y_B$ o $y_B > x_B$ .

• Caso 1: $x_B > y_B \implies y_B = \overline{U} \text{ and } x_B = \overline{U} + \epsilon$
• Caso 2: $y_B > x_B \implies x_B = \overline{U} \text{ and } y_B = \overline{U} + \epsilon$

donde $\epsilon > 0$ .

Por otra parte, el punto en el que $x_B = y_B$ viene dado por $(x_B,y_B) = (\overline{U},\overline{U})$ .

Introduzcamos los dos casos en $U_A$ .

Introduciendo las restricciones de dotación en $U_A$ escribirlo en términos de $x_B,y_B$ obtenemos:

$U_A = \beta \log(1-x_B) + (1-\beta) \log(1-y_B)$

• Caso 1: $x_B > y_B \implies y_B = \overline{U} \text{ and } x_B = \overline{U} + \epsilon$

$\implies U_A(1-x_B,1-y_B) = \beta \log(1-\overline{U}-\epsilon) + (1-\beta) \log(1-\overline{U}) < \beta \log(1-\overline{U}) + (1-\beta) \log(1-\overline{U}) = U_A(1-\overline{U},1-\overline{U})$

• Caso 2: $y_B > x_B \implies x_B = \overline{U} \text{ and } y_B = \overline{U} + \epsilon$

$\implies U_A(1-x_B,1-y_B) = \beta \log(1-\overline{U}) + (1-\beta) \log(1-\overline{U}-\epsilon) < \beta \log(1-\overline{U}) + (1-\beta) \log(1-\overline{U}) = U_A(1-\overline{U},1-\overline{U})$

Por lo tanto, el máximo se alcanza cuando $y_B = x_B = \overline{U}$ .

Variar el nivel de $\overline{U}$ obtenemos el trazado de la curva del contrato, que es el siguiente conjunto:

$CC = \{((x_A,y_A),(x_B,y_B)) \in \mathcal{F} : y_B = x_B\}$

donde $\mathcal{F}$ es el conjunto de asignaciones factibles (en las que se cumplen las restricciones de dotación), es decir, los puntos de la caja de Edgeworth.

A continuación ilustro lo que ocurre en el cuadro Edgeworth: