Para cuestiones como ésta, puede ser útil considerar primero el FCD. Entonces podemos tomar la derivada y tener nuestra densidad. Te daré algunas pistas y tendrás que rellenar los huecos.
Pregúntatelo a ti mismo: ¿Cuál es el FCD de $Y_2^N$ la segunda valoración más alta de $N$ ¿iid sortea? Es la probabilidad de que la realización de la variable aleatoria $Y_2^N$ es inferior a $x$ . A continuación, hazte dos preguntas auxiliares: ¿Cuál es la probabilidad de que el valor más alto sea menor que $x$ ? (Es $F^N(x)$ ) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de $N$ es superior a $x$ y $(N-1)$ son inferiores a $x$ ? (Es $N (1-F(x))F^{N-1}(x)$ ya que hay $N$ candidatos a ser el de arriba $x$ !) Una vez que hayas respondido a estas dos preguntas, puedes volver a pensar en la primera: ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo valor más alto sea como máximo $x$ ? Exacto, la FCD es la suma de la respuesta a las preguntas anteriores: $$F_2^N (x) = (F(x))^N + N (1-F(x)) (F(x))^{N-1}= N F^{N-1}(x) - (N-1)F^N(x),$$ y la derivada es $$f_2^N(x) = N(N-1) f(x) (F^{N-2}(x) - F^{N-1}(x)) = N(N-1)f(x) F^{N-2}(x)(1-F(x)).$$ Es la densidad del segundo valor más alto de $N$ sorteos. Puede reescribirse como $$f_2^N(x) = N (1-F(x)) [(N-1)F^{N-2}(x)f(x)] = N (1-F(x)) f_1^{N-1}(x).$$ Puede obtener más información sobre las estadísticas de pedidos en el Apéndice C del libro de Krishna y en las referencias que contiene.
¿Por qué no es exactamente su ecuación con otra $N$ ? Porque tu ecuación nos da algo más. Es la densidad de la segunda más alta de $N-1$ sorteos iid condicionados a que el mayor de esos sorteos sea como máximo $x$ .
La primera parte de la ecuación corrige este hecho. El Apéndice A o cualquier libro de teoría de la probabilidad te darán una idea de las FDA y densidades condicionales. La segunda parte es análoga a $N(1-F(x))$ con otro $N$ y también corregido para $Y_1<x$ . La tercera parte también es análoga a la parte final de mi ecuación anterior.
