Sea $Q^{T_e}$ denotan el $T_e$ -medida hacia delante y dejar $Q^{T_p}$ denotan el $T_p$ -medida anticipada.
He visto la siguiente derivada Radon-Nikodym siendo utilizada en derivaciones. Para $0 \le t \le T_p$ , \begin{align*} \eta_t \equiv \frac{dQ^{T_p}}{dQ^{T_e}}\mid_{t} = \frac{P(t, T_p)P(0, T_e)}{P(0, T_p)P(t, T_e)}. \end{align*}
¿Cómo se obtiene esta fórmula? Parece muy diferente de la derivada de Radon-Nikodym especificada en el teorema de Girsanov para medidas cambiantes.
Para ponerles en antecedentes, les presento algunos fragmentos de Geman, El Karoui y Rochet (1995) que utilizan un cambio de numéraire . Una observación fundamental es la fórmula de cambio de medida $\mathbb{E}^\mu[X]=\mathbb{E}^\nu\left[\frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}\nu} X\right]$ .
La definición 2 define lo que es un numéraire.
Un numéraire es un proceso de precios $X(t)$ casi seguro estrictamente positivo para cada $t\in[0, T]$ .
Básicamente, los numéraires son activos que se utilizan para medir los precios de todos los demás activos. A menudo, uno se limita a utilizar una cuenta bancaria sin riesgo. Pero hay otras posibilidades, sobre todo en el mundo de los tipos de interés.
La hipótesis 1 supone que existe un activo a numéraire con medida martingala asociada.
Existe un activo que no paga dividendos $n(t)$ y una probabilidad $\pi$ equivalente a la probabilidad inicial $\mathbb{P}$ tal que para cualquier seguridad básica $S_k$ sin pagos intermedios, el precio de $S_k$ en relación con $n$ es decir $S_k(t)/n(t)$ es una martingala local con respecto a $\pi$ . Por convención, tomaremos $n(0) = 1$ .
La parte clave del documento, y la respuesta a su pregunta, se da en el teorema 1.
Sea $X(t)$ sea un numeraire que no paga dividendos tal que $X(t)$ $n$ -martingale. Entonces existe una medida de probabilidad $Q_X$ definida por su derivada Radon-Nikodym con respecto a $\pi$ $$\frac{\mathrm{d}Q_X}{\mathrm{d}\pi}\Bigg|\mathcal{F}_T = \frac{X(T)n(0)}{X(0)n(T)}$$ tal que
- los precios básicos de los valores son $Q_X$ -martingales locales,
- si se trata de un crédito contingente $H$ tiene un precio justo por debajo de $(n, \pi)$ entonces tiene un precio justo $(X, Q_X)$ y la cartera de cobertura es la misma.
Por lo tanto, sustituir $X$ y $n$ por los precios de sus bonos (y $T$ por $t$ ) dan la derivada de Radon-Nikodym buscada en tu pregunta.
Como aplicación, en el apartado 4.1 se obtiene el precio cero en el tiempo de una opción de compra de tipo europeo con vencimiento en el tiempo $T_0$ con precio de ejercicio $K$ emitido sobre un bono cupón cero sin impago que vence en el momento $T_1>T_0$ como $$C(0)=P(0,T_1)\mathbb{Q}^{T_1}[A]-KP(0,T_0)\mathbb{Q}^{T_0}[A],$$ donde $A$ es el conjunto de ejercicios y $\mathbb{Q}^T$ es el $T$ -medida a plazo utilizando un bono con vencimiento en el momento $T$ como numéraire.
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