$a\geq 0$, $x\succsim y$ implica $x+a\succsim y+a$ ¿por lo que la preferencia es lineal?

Question

$\succsim$ es un orden débil continuo y local no saciado.

$x,y,a$ son vectores en $\mathbb R^n$

Diremos que $a\geq0$ si todas las direcciones del vector $a$ son mayores o iguales a cero.

Queremos demostrar (o refutar con un contraejemplo) que:

Supongamos que $x\succsim y$ implica $x+a\succsim y+a$ para cualquier $a\geq0$ y $x,y\in\mathbb R^n$ (condición 1),

Entonces la preferencia es lineal.

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La definición de preferencia lineal es que $x\succsim y$ implica $x+a\succsim y+a$ para cualquier $x,y,a$.

Prueba por contradicción. Supongamos que $\succsim$ no es lineal entonces existe $x\succsim y$ pero $x+a\prec y+a$.

Por no saciedad y continuidad, existe $x+\epsilon\succ y$ y $x+a+\epsilon \prec y+a$

Denotemos $x'=x+\epsilon$

Aquí si $a_i\geq 0$ o $a_i\leq 0$ para todos los índices $i\in\{1,..,n\}$ entonces la prueba está completada.

Ahora supongamos que $a_i\geq0$ para algunos índices pero $a_j\leq 0$ para otros índices.

Sea $c_i=\min\{0,a_i\}$

$v:=x'+c$ es un punto tal que $v\leq x'$ y $v\leq x'+a$

$w:=y+c$ es un punto tal que $w\leq y$ y $w\leq y+a$

Si $v\succsim w$, entonces por la condición (1) debemos tener $x'\succsim y$ y $x'+a\succsim y+a$, ¡contradicción!

Si $v\precsim w$, entonces por la condición (1) debemos tener $x'\precsim y$ y $x'+a\precsim y+a$, ¡contradicción!

¿Suena rigurosa la prueba?

Answer 1

Si entendí correctamente, defines una preferencia $\succsim$ en $\mathbb{R}^N$ como lineal si, para todos los $x,y$ y todos los $\alpha \in \mathbb{R}^N$, $$ x \succsim y \implies x + \alpha \succsim y + \alpha. $$ y $\succsim$ satisface Condición 1 si, solo para $\alpha \ge 0$, tenemos: $$ x \succsim y \implies x + \alpha \succsim y + \alpha. $$ Supongamos que también requerimos que la Condición 1 se cumpla para preferencia estricta, y pedimos que la linealidad también se mantenga para preferencias estrictas. Luego afirmo que estas propiedades son equivalentes, sin más suposiciones (como la no saciedad local).

Prueba: Supongamos que $\succsim$ (y $\succ$) cumplen la condición 1, y supongamos que $x \succsim y$. Fije $\alpha \in \mathbb{R}^N$ de manera arbitraria. Queremos demostrar que $x + \alpha \succsim y+ \alpha$. Defina: $$ \alpha^+ = \big(\max\{\alpha_1, 0\}, \ldots, \max\{\alpha_N, 0\}\big), $$ y $$ \alpha^- = \big(\min\{\alpha_1, 0\}, \ldots, \min\{\alpha_N, 0\}\big), $$ y deje $x' = x + \alpha^-$, $y' = y + \alpha^-$. Por la condición 1 aplicada a $\succ$, y la suposición de que $x \succsim y$, tenemos que $x' \succsim y'$. Pero entonces, por la condición 1 para $\succsim$, tenemos que $x' + \alpha^+ \succsim y'+ \alpha^+$. Sin embargo, $x'+ \alpha^+ = x + \alpha$, y $y' + \alpha^+ = y + \alpha$. Si en su lugar $x \succ y$, se aplica un argumento análogo. QED

Una nota de precaución sobre la terminología, la condición 1 (y por lo tanto lo que estás llamando preferencias lineales) no son suficientes, incluso con no saciedad local, para garantizar la existencia de una representación de utilidad lineal, es decir, de la forma $U(x) = \langle x ,\lambda \rangle$. También necesitas continuidad o una suposición de monotonía más fuerte. Como ejemplo, considera $N=1$ y una preferencia representada por cualquier solución discontinua a la ecuación funcional de Cauchy.