Estrategia discreta de autofinanciación

Question

Sea $H$ sea una estrategia de inversión en un modelo de precios discretos. Prueba $H$ se autofinancia si y sólo si se cumple lo siguiente para el proceso de cartera $P_t$ : $$P_t = P_0 + \sum_{s=1}^tH_{s-1}(X_s-X_{s-1}) \quad \forall t=1, \dots,T$$

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$\textbf{Definition:}$ $H_t$ estrategia de autofinanciación $\iff (\Delta H_t)^TX_{t-1}=0\ \forall t=1, \dots,T$ .

No hemos definido qué es un proceso de cartera, así que supongo que nos referimos al proceso de valor de la cartera: $V=V(H)=H^TX$ con precios $X$ .

Intenté $$(\Delta H_t)^TX_{t-1}=0 \iff H_t^TX_{t-1}=H_{t-1}^TX_{t-1} \iff \Delta(H_t^T)_t=\Delta(H\circ X)_t \\ \iff H_t^TX_t=H_0^TX_0+(H\circ X)_t$$

$\forall t=1,...,T$ . En $P_t:=H_t^TX_t$ Recibo $$P_t = P_0 + \sum_{s=1}^tH_s(X_s-X_{s-1})\ \forall t=1,...,T$$ pero necesito $H_{s-1}$ en lugar de $H_s$ . También probé la integración por partes y obtuve el mismo resultado... ¿Cómo puedo probar la reclamación?

Gracias de antemano.

Answer 1

Basta con considerar un paso temporal. El valor de la cartera cambia en \begin{align} P_t-P_{t-1}&=H_t^\top X_t-H^\top _{t-1}X_{t-1}\\ &=\underbrace{H_t^\top(X_t-X_{t-1})}_{\textstyle(A)}+\underbrace{(H_t^\top-H^\top_{t-1})X_{t-1}}_{\textstyle (B)}\,. \end{align} El término $(B)$ refleja los cambios en el valor de la cartera debidos a reasignaciones y/o retiradas, así como a nuevas incorporaciones de activos a la cartera. El primer término es el cambio de valor debido a los activos con nuevos valores al final del periodo.

Cuando la estrategia $H$ se autofinancia sólo se permiten reasignaciones, es decir, $B$ debe ser cero. No se permite nada que añada o retire valor de la cartera. Un ejemplo con dos activos que tienen precios $$ X^1_{t-1}=100\,,\quad X^2_{t-1}=80 $$ y asignaciones actuales $$ H^1_{t-1}=8\,,\quad H^2_{t-1}=10\,. $$ Entonces se le permite vender cinco acciones del segundo activo para comprar cuatro del primero: $$ H^1_t-H^1_{t-1}=4\,,\quad H^2_t-H^2_{t-1}=-5\,. $$ Conclusión: $H$ se autofinancia si y sólo si uno de los dos equivalentes equivalentes

• $P_t-P_{t-1}=H_t^\top(X_t-X_{t-1})\,,$

• $(H_t^\top-H^\top_{t-1})X_{t-1}=0\,.$