Ejemplo de cartera de arbitraje

Question

¿Puede darme un ejemplo concreto de una cartera autofinanciada que ofrezca una oportunidad de arbitraje en el modelo Black-Scholes bidimensional?

Por modelo Black-Scholes bidimensional entiendo

$$dS_{1}\left(t\right)=S_{1}\left(t\right)\left[\mu_{1}dt+\sigma_{1}dW\left(t\right)\right]$$ $$dS_{2}\left(t\right)=S_{2}\left(t\right)\left[\mu_{2}dt+\rho\sigma_{2}dW_{1}\left(t\right)+\sqrt{1-\rho^{2}}\sigma_{2}dW_{2}\left(t\right)\right]$$

donde $S_{1}\left(t\right)$ y $S_{2}\left(t\right)$ son los subyacentes; $W_{1}\left(t\right)$ y $W_{2}\left(t\right)$ son procesos de Wiener independientes; $\mu_{1}$ , $\mu_{2}$ , $\sigma_{1}$ , $\sigma_{2}$ y $\rho$ son constantes; y el tipo de interés sin riesgo también es constante en la dinámica del producto sin riesgo: $$dB\left(t\right)=rB\left(t\right)dt.$$

En la dinámica subyacente anterior: $\rho\sigma_{2}dW_{1}\left(t\right)+\sqrt{1-\rho^{2}}\sigma_{2}dW_{2}\left(t\right)$ representa una especie de descomposición Cholesky.

Answer 1

Puede elegir un arbitraje para el modelo clásico unidimensional Black-Scholes, y no utilizar $S_2$ en absoluto.

Un arbitraje de este tipo se presenta, por ejemplo, en el ejemplo 3.5 de " Los procesos fraccionarios como modelos de las finanzas estocásticas "de Bender et al (2011).