¿Puedo instrumentar una variable endógena y su forma cuadrática con el instrumento y su forma cuadrática?

Question

Tengo el siguiente problema, donde me gustaría tener un consejo o una referencia:

Estoy estimando un modelo que normalmente (en otros trabajos) sólo incluye la variable explicativa en su forma lineal, pero, en mi caso, he visto que el modelo estaría correctamente especificado si también incluye la forma cuadrática de mi variable explicativa. A pesar de esto, normalmente la literatura sólo hace una variable instrumental para la versión lineal de mi variable, pero no para el término cuadrático. Teniendo esto en cuenta, ¿sería incorrecto que instrumentara también este último término con la forma cuadrática de mi variable instrumental? ¿Existe una respuesta "universal" a esta pregunta, o depende del tipo de variable instrumental de mi modelo?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

La referencia dada en un comentario bajo la pregunta de @Bertrand, de Cameron y Trivedi (2005, Sección 6.5.4, página 198), es muy útil, mostrando cómo 2SLS lineal puede ser inconsistente. Sólo subrayo dos cosas basándome en el ejemplo de los autores:

1. La estimación IV básica implica utilizar como instrumento $z$ (que está correlacionado con el regresor endógeno $x$ ), y no $z^2$ (incluso si el regresor $x$ entra al cuadrado en la ecuación de regresión de su ejemplo).
2. Para que este estimador IV funcione debe darse el caso de que $$E(x^2\cdot z) \neq 0.$$ Este es el conocido criterio de "pertinencia" de un instrumento, y lo menciono porque, a menudo, la correlación existente en los niveles puede desaparecer o volverse muy débil si cuadramos un de las dos variables, especialmente si $x$ toma tanto valores negativos como positivos, pero incluso cuando es de signo uniforme en todas partes.

Lo bueno es que tenemos disponibles tanto $x$ y $z$ para que al menos podamos evaluar qué ocurre con su asociación de cuadramos $x$ solo.

Sería instructivo utilizar la configuración de Cameron-Trivedi e intentar incluir $z^2$ como instrumento, a ver qué pasa.