¿Existe/se puede definir una noción de bienes de Giffen en las economías de intercambio puro?

Question

Estaba revisando algunas preguntas que respondí recientemente aquí sobre Equilibrio General, y un resultado de esta ( Economía de intercambio con dos agentes, ¿cuál es el equilibrio competitivo? ) llamó mi atención:

Ambos agentes $i = A,B$ tienen la siguiente función de utilidad:

$U_i(x_i,y_i) = - e^{-x_i} - e^{-y_i}$

y las dotaciones son $((w_{x_A},w_{y_A}), (w_{x_B},w_{y_B})) = ((1,5),(3,3))$ .

Para este problema obtuve las siguientes demandas para bien $x$

${x_A}^\star = \frac{p_x - \ln(p_x) + 5}{p_x + 1}$

${x_B}^\star = \frac{3 p_x - \ln(p_x) + 3}{p_x + 1}$

Nota Tomé buena $p_y = 1$ como numerario, por lo que las demandas de buena $x$ son funciones de su propio precio.

Sumando ambas, obtengo la siguiente "función de demanda agregada" del bien $x$

$x^\star = \frac{4 p_x - 2 \ln(p_x) + 8}{p_x + 1}$

Tracé esta función en Geogebra y parecía decreciente hasta un cierto precio, a partir del cual, pasaría a ser creciente en su propio precio, de forma análoga a un bien de Giffen.

Luego procedí a tomar su derivada para comprobar lo que mostraba la gráfica. Obtuve la siguiente expresión, que a continuación $\overset{set}{=} 0$ para encontrar extremos:

$\frac{dx^\star}{dp_x} = \frac{2p_x \ln(p_x) - 6p_x - 2}{p_x (p_x + 1)^2} \overset{set}{=} 0$

GeoGebra y WolframAlpha dan una solución numérica cercana a $p_x = 21.06$

Aquí muestro gráficos tanto del agregado $x$ -y su derivada, respectivamente:

Nota: Mi Geogebra está en español, las palabras "extremo" y "root" significan "extremum" y "root", respectivamente.

Si existe una parte de pendiente ascendente en la función de demanda agregada, en particular, al menos un agente tiene una función de demanda con una parte de pendiente ascendente.

El hecho de que las demandas walrasianas con porciones de pendiente ascendente sean matemáticamente posibles me hizo pensar en la siguiente pregunta:

¿Podemos hablar de bienes Giffen en economías de intercambio puro (la habitual caja de Edgeworth)? Si es así, debe haber una forma de definir los efectos de renta y sustitución, y una interpretación de la hipótesis de los bienes de Giffen.

Answer 1

"Giffenness" puede seguir sólo de las preferencias, usted tiene que filtrar los efectos de los ingresos de dotación. (Sustituir una renta monetaria fija $m$ Para más detalles, véase, por ejemplo, Intermediate Microeconomics de Varian). Por lo tanto, el hecho de que se trate de una economía de intercambio puro no juega ningún papel.

Dadas las idénticas preferencias podemos eliminar el índice $i$ . Precios dados $p_x,p_y$ en todos los puntos interiores $$ \begin{equation*} |MRS(x,y)| = \frac{p_x}{p_y} \\ e^{y-x} = \frac{p_x}{p_y} \\ y-x = \ln p_x - \ln p_y \\ \end{equation*} $$ por lo que todo consumo de bienes disminuye su propio precio para cualquiera de los consumidores, por lo tanto también para el mercado en su conjunto.