Estoy haciendo esta tarea, pero no dejo de atascarme con esta pregunta. Puse la función de Lagrange para ambos agentes y obtener la relación MRS / Precio, pero ¿qué debo hacer a partir de ahí?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Ali Hasan Malalla
Puntos
6
Voy a cambiar la notación a una con la que me sienta más cómodo:
Que la mercancía sea $x,y$ los consumidores $A,B$ y las dotaciones respectivas $(w_{x_A},w_{y_A}), (w_{x_B},w_{y_B})$ .
Pongamos como numerario $p_y = 1$ .
Como ambas utilidades son iguales, resolvemos este problema una vez:
$\max - e^{-x_i} - e^{-y_i}$
s.t. $p_x x_i + y_i = p_x w_{x_i} + w_{y_i}$
La condición de optimalidad es
$MRS_i = p_x$
$\frac{\frac{\partial U_i}{\partial x_i}}{\frac{\partial U_i}{\partial y_i}} = p_x$
$\frac{e^{-x_i}}{e^{-y_i}} = p_x$
$e^{y_i - x_i} = p_x$
$y_i - x_i = \ln(p_x)$
$y_i = x_i + \ln(p_x)$
Enchufar a la restricción presupuestaria,
$p_x x_i + x_i + \ln(p_x) = p_x w_{x_i} + w_{y_i}$
$(p_x + 1) x_i = p_x w_{x_i} - \ln(p_x) + w_{y_i}$
Resolución de $x_i$
${x_i}^\star = \frac{p_x w_{x_i} - \ln(p_x) + w_{y_i}}{p_x + 1}$
Introduciendo la expresión para $y_i$
${y_i}^\star = \frac{p_x w_{x_i} + p_x \ln(p_x) + w_{y_i}}{p_x + 1}$
Taponar las dotaciones
${x_A}^\star = \frac{p_x - \ln(p_x) + 5}{p_x + 1}$
${x_B}^\star = \frac{3 p_x - \ln(p_x) + 3}{p_x + 1}$
${y_A}^\star = \frac{p_x + p_x \ln(p_x) + 5}{p_x + 1}$
${y_B}^\star = \frac{3 p_x + p_x \ln(p_x) + 3}{p_x + 1}$
El mercado del bien $x$ se borra cuando
${x_A}^\star + {x_B}^\star = w_{x_A} + w_{x_B}$
$\frac{4 p_x - 2 \ln(p_x) + 8}{p_x + 1} = 4$
$4 p_x - 2 \ln(p_x) + 8 = 4 p_x + 4$
$4 = 2 \ln(p_x)$
$2 = \ln(p_x)$
${p_x}^\star = e^2$
Por la Ley de Walras, el mercado de bienes $y$ también despeja.
Introduciendo el precio de equilibrio en las funciones de demanda
${x_A}^\star = \frac{e^2 + 3}{e^2 + 1}$
${x_B}^\star = \frac{3 e^2 + 1}{e^2 + 1}$
${y_A}^\star = \frac{3 e^2 + 5}{e^2 + 1}$
${y_B}^\star = \frac{5 e^2 + 3}{e^2 + 1}$
Terry
Puntos
106
Una asignación $((c^*_{a,1},c^*_{a,2}),(c^*_{b,1},c^*_{b,2}))$ es un equilibrio competitivo asignación para la economía dada apoyada por la relación de precios $\frac{p_1^*}{p_2^*}$ si cumple lo siguiente:
$1.$ Solución a la UMP de $a$ y $b$ :
Dado $(p_1^*,p_2^*)$ , $(c^*_{a,1},c^*_{a,2})$ es una solución: $$\begin{align} \max_{c_{a,1},c_{a,2}\geq0} \quad & U_a=-e^{-c_{a,1}}-e^{-c_{a,2}}\\ \textrm{s.t.} \quad & p_1^*c_{a,1}+p_2^*c_{a,2}\leq p_1^*+5p_2^*\end{align}$$ Dado $(p_1^*,p_2^*)$ , $(c^*_{b,1},c^*_{b,2})$ es una solución: $$\begin{align} \max_{c_{b,1},c_{b,2}\geq0} \quad & U_b=-e^{-c_{b,1}}-e^{-c_{b,2}}\\ \textrm{s.t.} \quad & p_1^*c_{b,1}+p_2^*c_{b,2}\leq 3p_1^*+3p_2^*\end{align}$$
$2.$ Compensación de mercados : La demanda óptima obtenida en $1.$ debe ser de mercado, es decir, $$c^*_{a,1}+c^*_{b,1}=4\\ c^*_{a,2}+c^*_{b,2}=8$$
Para resolver el equilibrio competitivo necesitamos primero las funciones de demanda de $a$ y $b$ .
Dado que nos interesan los precios relativos, normalicemos el precio del bien 2 a 1. Formalmente, $p_2\overset{set}{=}1$ . Esto nos permitirá encontrar las funciones de demanda en términos de $p_1$ solo.
UMP del agente a: $$\begin{align}\max_{c_{a,1},c_{a,2}\geq0} \quad & -e^{-c_{a,1}}-e^{-c_{a,2}}\\ \textrm{s.t.} \quad & p_1c_{a,1}+c_{a,2}\leq p_1+5\end{align}$$
resolviendo lo anterior da: $(c_{a,1},c_{a,2})^d(p_1)=\left(\frac{5+p_1-\ln p_1}{p_1+1},\frac{p_1(1+\ln p_1)+5}{p_1+1}\right)$
UMP del agente b: $$\begin{align}\max_{c_{b,1},c_{b,2}\geq0} \quad & -e^{-c_{b,1}}-e^{-c_{b,2}}\\ \textrm{s.t.} \quad & p_1c_{b,1}+c_{b,2}\leq 3p_1+3\end{align}$$
resolviendo lo anterior da: $(c_{b,1},c_{b,2})^d(p_1)=\left(\frac{3+3p_1-\ln p_1}{p_1+1},\frac{p_1(3+\ln p_1)+3}{p_1+1}\right)$
Ambos UMP son estándar con funciones de utilidad cóncavas por lo que puede utilizar el método lagrangiano para resolver lo anterior.
Ahora podemos resolver el precio de equilibrio utilizando $2.$ y las funciones de demanda.
El mercado del bien 1 se despeja cuando: $c_{a,1}(p_1)+c_{b,1}(p_1)=4$ $$\begin{eqnarray} & \frac{5+p_1-\ln p_1}{p_1+1}+\frac{3+3p_1-\ln p_1}{p_1+1}=4 \\ & p_1=e^2\end{eqnarray}$$
Por lo tanto, $((c^*_{a,1},c^*_{a,2}),(c^*_{b,1},c_{b,2}))=\left(\left(\frac{3+e^2}{e^2+1},\frac{3e^2+5}{e^2+1}\right),\left(\frac{1+3e^2}{e^2+1},\frac{5e^2+3}{e^2+1}\right)\right)$ es la asignación de equilibrio competitivo soportada por la relación de precios de equilibrio $\frac{p_1^*}{p_2^*}=e^2$
