Cómo derivar las funciones de demanda de insumos a partir de una función de producción de sustitutos perfectos

Question

Tengo dificultades para deducir las funciones de demanda de insumos a partir de una función de producción con insumos que son sustitutos perfectos. La función de producción es la siguiente $f(x_1,x_2) = (x_1+x_2)^\frac{1}{2}$

Creo que la solución dependería de la tasa marginal de sustitución técnica y de la relación de precios de los insumos. La tasa marginal de sustitución técnica en este caso es $1$ y no estoy seguro de cuáles serían las funciones de demanda de entrada cuando la pendiente de la isocuanta es la misma que la del isocosto, dado que la isocuanta también es una línea recta. Sé que para $\frac{w_1}{w_2} > 1$ o $\frac{w_1}{w_"} < 1$ (donde $w_1$ y $w_2$ son los precios de entrada) habría soluciones de esquina, pero ¿cómo enfocamos el caso en el que las pendientes son las mismas, especialmente cuando la isocuanta es una línea recta?

Answer 1

Sea $w:= w_1 = w_2$

El problema de optimización que resolverías es la maximización del beneficio:

$\max \Pi = P (x_1 + x_2)^\frac{1}{2} - w x_1 - w x_2$

La condición de primer orden para el $i$ -ésimo factor es

$\frac{\partial \Pi}{\partial x_i} = \frac{P}{2} (x_1 + x_2)^{-\frac{1}{2}} - w = 0$

$\implies \frac{P}{2} (x_1 + x_2)^{-\frac{1}{2}} = w$

$\implies \frac{2}{P} (x_1 + x_2)^\frac{1}{2} = \frac{1}{w}$

$\implies (x_1 + x_2)^\frac{1}{2} = \frac{P}{2w}$

$\implies x_1^\star + x_2^\star = (\frac{P}{2w})^2$

Nota en este caso, ambos f.o.c. son iguales, lo hice con el índice $i$ para ahorrar algo de álgebra.

Obsérvese que las isocuantas vienen dadas por

$(x_1 + x_2)^\frac{1}{2} = \overline{Y} \implies x_1 + x_2 = (\overline{Y})^2$

Esto implica que las demandas de imputación pueden ser cualquier combinación en la isocuanta para $\overline{Y} = \frac{P}{2w}$ que también es una curva isocoste porque

$w x_1 + w x_2 = \overline{C} \implies x_1 + x_2 = \frac{\overline{C}}{w}$

Esto implica que también es el isocoste para $\overline{C} = \frac{P^2}{4w}$

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Editado a partir de la discusión en los comentarios:

En este caso, las funciones de demanda de insumos no están determinadas de forma unívoca.

La condición que tengo es que ambas demandas tienen que sumar $(\frac{P}{2w})^2$ . Como las demandas son no negativas, podemos elegir cualquier $x_1^\star$ en el intervalo $x_1^\star \in [0,(\frac{P}{2w})^2]$ .

Entonces, para que se cumpla la ecuación anterior, dado un $x_1^\star$ elegimos $x_2^\star = (\frac{P}{2w})^2 - x_1^\star$

Con esto, podemos decir que las demandas de entrada vienen dadas por

$x_1^\star \in [0,(\frac{P}{2w})^2]$

$x_2^\star = (\frac{P}{2w})^2 - x_1^\star$

Lo anterior describe puntos óptimos interiores y de esquina, siendo los de esquina si elegimos $x_1^\star = 0$ o $(\frac{P}{2w})^2$ mientras que las interiores vienen dadas por las elecciones de $x_1^\star \in (0,(\frac{P}{2w})^2)$ .