Soy nuevo en este campo pero últimamente estoy leyendo literatura relacionada y estoy bastante obsesionado con el tema. He llegado a saber que a la gente le gusta modelar el tipo a corto bajo una medida neutral al riesgo $Q$ porque bajo $Q$ el precio de un bono cupón cero puede expresarse como $$P(t,T)=\mathbb{E}_Q\left[e^{-\int_t^Tr_sds}|\mathscr{F}_t\right],$$ mientras que en la medida del mundo real $Q^0$ la fórmula es complicada. Y si uno no se preocupa de cómo viajar entre $Q^0$ y $Q$ o la forma de $\lambda$ se puede modelar directamente la dinámica de los tipos a corto plazo bajo $Q$ donde $\lambda$ queda implícita.
Así que esta es mi idea. Según el teorema fundamental de la valoración de activos, la inexistencia de arbitraje equivale a la existencia de una medida neutral al riesgo $Q$ . Supongamos que no hay arbitraje. Entonces bajo este particular $Q$ Supongo que el tipo a corto sigue un proceso discreto ARMA(1,1) $$r_{t+1}=\gamma_1r_t+\gamma_0+\epsilon_{t+1}+\epsilon_t.$$ Dado que el modelo es discreto, utilizo una aproximación de Riemann para representar $\int_t^Trsds$ , $$\hat{r}=\frac{1}{2}r_th+\sum_{j=1}^{m-1}r_{j+t}h+\frac{1}{2}r_{m+t}h,$$ con $T-t=mh$ . De hecho, si las tasas se observan a diario, toma $h=\frac{1}{365}$ . Entonces, demostrando $\hat{r}|\mathscr{F}_t$ sigue una distribución normal, utilice la función generadora de momentos para obtener $$\hat{P}(t,T)=\mathbb{E}_Q\left[e^{-\hat{r}}|\mathscr{F}_t\right]=e^{\mathbb{E}[-\hat{r}|\mathscr{F}_t]+\frac{1}{2}Var[-\hat{r}|\mathscr{F}_t]},$$ que ahora es una aproximación de $P(t,T)$ .
Entiendo que lo anterior no es nada elegante, porque a todos nos gustan los modelos diferenciales continuos. Pero, ¿es lo anterior al menos teóricamente correcto? Y si hay defectos, ¿puede ser abordado con para salvar la idea?
Edición: Mi mayor preocupación se refiere a $Q$ . Veo líneas sobre el cambio de medida de Girsanov y las derivadas de Radon-Nykodym cuando la gente deriva $Q$ de $Q^0$ y no confío en asumir simplemente $Q$ existe por no arbitraje y la colocación de mi modelo en virtud del mismo.
