¿Por qué hay un $\frac{1}{2}$ delante de la fórmula de la varianza de la cartera?

Question

¿Alguien me puede explicar de dónde proviene $\frac12$ en la expresión $\frac{1}{2} \omega'\Sigma \omega$?

Esa es la expresión a minimizar para obtener la cartera de varianza mínima (con algunas restricciones).

$\omega$ es el vector de pesos y $\Sigma$ es la matriz de covarianza.

Answer 1

Esto ya ha sido tratado varias veces. Como explica @Dom, el propósito es simplificar las derivadas parciales.

Por razones de exposición, asumamos que solo hay dos activos con vector de peso $\omega=(\omega_1,\omega_2)$, entonces buscamos minimizar una función de la forma: $$f(\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{2}\left(\omega_1^2\sigma_2^2+\omega_2^2\sigma_2^2+2\omega_1\omega_2\sigma_1\sigma_2\rho\right)-\gamma(\omega_1r_1+\omega_2r_2)$$ donde $r_i$ es el retorno esperado, $\sigma_i^2$ la varianza de retorno, $\rho$ la correlación de retornos y $\gamma$ algún parámetro de aversión al riesgo. Entonces, $i\not=j$: $$\begin{align} &\frac{\partial}{\partial\omega_i}f(\omega_1,\omega_2) =\frac{1}{\color{blue}{2}}(\color{blue}{2}\omega_i\sigma_i^2+\color{blue}{2}\omega_j\sigma_i\sigma_j\rho)-\gamma r_i =\omega_i\sigma_i^2+\omega_j\sigma_i\sigma_j\rho-\gamma r_i \end{align}$$ Es solo por conveniencia, ya que, como puedes ver, el coeficiente $\color{blue}{2}$ se cancela con el $\color{blue}{\frac{1}{2}}$

En general, los programas de optimización cuadrática suelen reformularse con un factor de $\frac{1}{2}$. Por ejemplo en Aprendizaje Automático, las formulaciones estándar de Máquinas de Soporte Vectorial también incluyen este factor.

Answer 2

Muchas de las cosas que usamos en economía y especialmente en economía financiera son inconsecuentes, pero prácticas. Si tienes un programa cuadrático, incluir esta fracción convenientemente elimina las constantes molestas en las condiciones de primer orden.

Específicamente, $\nabla_\omega \omega' \Sigma \omega = (\Sigma + \Sigma') \omega$, utilizando la convención de que los vectores son vectores columna. Pero dado que $\Sigma$ es la matriz de covarianza, $\Sigma = \Sigma'$ y, por lo tanto, $\nabla_\omega \omega' \Sigma \omega = 2 \Sigma \omega$. ¡No es difícil ver aquí por qué alguien pondría una fracción al principio! Ahora, si tu objetivo fuera, digamos, minimizar la varianza de tu cartera $\omega' \Sigma \omega$, posiblemente sujeto a alguna restricción, entonces para cualquier función estrictamente monotónicamente creciente $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, es lo mismo que minimizar $f(\omega' \Sigma \omega)$ y resulta que multiplicar por una constante estrictamente positiva es un ejemplo de ese tipo de función.

Otro ejemplo muy común es trabajar con una función de utilidad Cobb-Douglas. Es un poco más rápido ver qué está pasando si resuelves el problema después de tomar el logaritmo natural de la función de utilidad.

Se pueden encontrar cambios un poco más incidentales en la literatura de fijación de precios de opciones cuando se usan dinámicas GARCH y modelos de tiempo discreto. Por lo general, incluimos un término de corrección de convexidad en la ecuación media del precio subyacente para que cuando tomes el valor esperado del exponencial, los valores relacionados con el término de error y esta adición se cancelen y te quede un valor medio simple.