Así que me dieron este problema en el que ambos agentes tienen funciones de utilidad Cobb-Douglas y me piden que encuentre una asignación que esté en el núcleo pero que no sea un equilibrio walrasiano. ¿No es el núcleo de una economía el segmento de la curva de contrato que se encuentra entre las curvas de indiferencia originales?
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Sean
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Consideremos una economía de intercambio puro con dos consumidores - A y B, y dos bienes - X e Y con $u_A(x_A, y_A) = x_Ay_A$ y $u_B(x_B, y_B) = x_By_B$ . Supongamos que las dotaciones de A y B son $\omega_A = (1,0)$ y $\omega_B = (0,1)$ . En este caso, el conjunto de todas las asignaciones eficientes de Pareto $\{((x_A, y_A),(x_B,y_B))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+|y_A=x_A \wedge x_A+x_B = 1 \wedge y_A+y_B=1\}$ es también el Núcleo de esta economía (Es la línea de 45 grados que une los orígenes de A y B en el cuadro de Edgeworth). Sin embargo, sólo existe una asignación de equilibrio competitivo, que es $\left(\left(x_A, y_A\right),\left(x_B,y_B\right)\right)=\left(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\right)$ con precios de apoyo $(p_X, p_Y) = (1,1)$ .
tst
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2290
Supongamos que tenemos dos agentes $A$ y $B$ con dotaciones $\omega^A = (\omega_1^A, \omega_2^A)$ y $\omega^B =(\omega_1^B, \omega_2^B)$ tanto en $\mathbb{R}^2$ . Los agentes tienen funciones de utilidad Cobb-Douglas:
$$u_A(x^A) = (x_1^A)^\alpha(x_2^A)^{1-\alpha},\\ u_B(x^B) = (x_1^B)^\beta(x_2^B)^{1-\beta}.$$
donde $\alpha,\beta \in (0,1).$
Ahora bien, como las funciones Cobb-Douglas son funciones de utilidad cóncavas y agradables, sabemos que la curva de contrato (el conjunto de asignaciones eficientes de Pareto) es precisamente el conjunto de puntos con $MRS_A = MRS_B,$ es decir, donde $$ \frac{\alpha x_2^A}{(1-\alpha)x_1^A} = \frac{\beta x_2^B}{(1-\beta)x_1^B} $$ Combinando esto con las condiciones de viabilidad: $$x_1^A + x_1^B = \omega_1^A + \omega_1^B \equiv \omega_1,\\ x_2^A + x_2^B = \omega_2^A + \omega_2^B \equiv \omega_2.$$ que podemos escribir como $$x_1^B = \omega_1-x_1^A,\\ x_2^B = \omega_2-x_2^A.$$ Sustituyendo esto en la condición de la curva del contrato, tenemos $$ \frac{\alpha x_2^A}{(1-\alpha)x_1^A} = \frac{\beta (\omega_2-x_2^A)}{(1-\beta)(\omega_1-x_1^A)} $$ que, después de algunos reordenamientos, nos da $$\alpha x_2^A(1-\beta)(\omega_1-x_1^A) = \beta (\omega_2-x_2^A)(1-\alpha)x_1^A$$ Resolviendo esto para $x_2^A$ te dará la curva del contrato. Ahora, el núcleo de la economía son todos los puntos de la curva del contrato que proporcionan una utilidad débilmente mayor a AMBOS agentes que la dotación inicial. Si trazamos la curva del contrato en el cuadro de Edgeworth, se parecerá a una línea que va de una esquina a la otra, y si trazamos las curvas de indiferencia correspondientes a las dotaciones iniciales (es decir, la curva $u_A(x_1^A, x_2^A) = u_A(\omega_1^A, \omega_2^A))$ el núcleo son todos los puntos de la curva contractual comprendidos entre $A$ y $B$ (esencialmente porque estos son los puntos en los que ambos agentes estarían débilmente mejor, y no hay mejoras de Pareto en estos puntos).
Por fin llegamos a la pregunta: ¿Qué es el equilibrio walrasiano? Aquí sólo voy a esbozar una respuesta. Para obtener el NOSOTROS, tendríamos que resolver el problema de maximización restringida de cada agente, donde la función objetivo es la utilidad y la restricción es su presupuesto: $$p_1x_1^i + p_2x_2^i = p_1 \omega_1^i + p_2\omega_2^i$$ para $i\in\{A,B\}$ . Esto no resulta demasiado complicado porque las funciones de utilidad son muy bonitas. Una vez que se tiene la función de demanda de cada agente, se puede utilizar el hecho de que los mercados se despejan en un NOSOTROS para encontrar una relación de precios única $p_1/p_2$ que despeja ambos mercados. Esta relación de precios dará lugar a una asignación única en el núcleo, por lo que, para responder a su pregunta, puede elegir cualquier asignación en el núcleo que no sea ésta.
