Derivación de la ecuación de fijación de precios de Dupire frente a la EDP de Black Scholes

Question

Sé que la ecuación de fijación de precios de Dupire se deriva de forma similar a la EDP de Black Scholes, pero no es exactamente la misma ecuación. Dupire ecuación se lee:

$\boxed{\frac{\partial C}{\partial T} = \frac{\sigma^2(K,T)}{2} \; K^2 \frac{\partial^2 C}{\partial K^2} - (r - q)K \frac{\partial C}{\partial K} - qC}$

La principal diferencia es que en la ecuación BS el término que multiplica la gamma es -1/2, mientras que en Dupire es +1/2. ¿De dónde viene esta diferencia?

En el libro de John Hull, la ecuación de Black Scholes se deduce de forma muy intuitiva. ¿Existe una forma intuitiva de derivar también la ecuación de Dupire?

Answer 1

La ecuación que menciona se llama Dupire Adelante PDE . Permite calcular el precio de tous vanillas de varios strikes y vencimientos de una sola vez, dado el precio al contado actual.

En Precio de la volatilidad local PDE es una bestia diferente. Permite encontrar el precio de un solo instrumento (por ejemplo, una vainilla de fijo huelga y vencimiento $V(t,S) = C(t,S;K,T)$ ) en distintos momentos futuros (t) para distintos niveles de puntos (S). La EDP LV es una generalización directa de la EDP BS: $$ \frac{\partial V}{\partial t}(t,S) + \mu(t) S \frac{\partial V}{\partial S}(t,S) + \frac{1}{2} \sigma^2(t,S) S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(t,S) - r V(t,S) = 0 $$

Answer 2

Esto se debe a la conexión entre la EDP BS y la dual de esa ecuación, en algún punto sustituyes d/dt por -d/dT.

Así, K se convierte en S, la rentabilidad por dividendo q se convierte en el tipo sin riesgo r, el plazo de vencimiento T se convierte en t, d/dT se convierte en -d/dt. Entonces la EDP de Dupire se convierte en la ecuación de Black-Scholes-Merton.

Ver: https://arxiv.org/abs/1912.10380 La ecuación dual Black-Scholes-Merton , por Shuxin Guo y Qiang Liu, 2019