Supongamos que estamos interesados en probar el CAPM utilizando el Prueba GRS . Considere $N$ activos observados para $T$ periodos de tiempo. Utilizando la notación de Cochrane "Valoración de activos" (2005), la prueba GRS equivale a ejecutar $N$ regresiones de series temporales de la forma $$ R^{ei}_t=\alpha_i+\beta_i f_t+\varepsilon^i_t \tag{12.1} $$ y comprobando la hipótesis conjunta $H_0\colon \alpha_1=\dots=\alpha_N=0$ . En $\alpha$ s se tratan como errores de fijación de precios, por lo que es mejor que sean cero si el CAPM es un modelo adecuado.
Sin embargo, tengo una objeción con el uso de $(12.1)$ para probar el CAPM. Considere lo siguiente. El CAPM establece que $$ E(R^{ei})=\beta_i E(f). $$ Aunque se trata de un modelo de un solo periodo, supongamos que funciona en todos los $T$ periodos para que $E(R^{ei}_t)=\beta_i E(f_t)$ donde $E(f_t)\equiv E(f)=:\lambda$ . Supongamos además las covarianzas y varianzas pertinentes y así $\beta$ s también son constantes a lo largo del tiempo. Esto implica que $$ R^{ei}_t = \tilde\alpha_i+\tilde\beta_i \lambda+\varepsilon^i_t. \tag{12.1'} $$ con $\tilde\alpha_1=\dots=\tilde\alpha_N=0$ .
Comparación de $(12.1)$ a $(12.1')$ vemos que la primera sustituye a $\lambda$ con $f_t$ introduciendo así un error de medición (también conocido como error en las variables). Por lo tanto, las estimaciones puntuales OLS $\hat\alpha^{\text{12.1 by OLS}}_i$ y $\hat\beta^{\text{12.1 by OLS}}_i$ ni siquiera son coherentes $\color{red}{^*}$ para los valores verdaderos $\tilde\alpha_i$ y $\tilde\beta_i$ correspondiente a $(12.1')$ .
Pregunta: ¿Se ocupa la prueba GRS de $\lambda$ siendo sustituido por $f_t$ ?
$\color{red}{^*}$ Ahora me he dado cuenta de que la afirmación sobre la coherencia puede ser errónea, ya que tenemos un caso bastante especial de $\lambda$ siendo una constante en lugar de una variable. Voy a comprobar y volver a esto más tarde ...
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