Ejemplo de preferencias del consumidor que cambian de ser cóncavas a ser convexas

Question

Pregunta

¿Existe un ejemplo de preferencias del consumidor sobre paquetes de consumo $(x,y)\in \Bbb R^2$ que serían cóncavas cuando $x$ es abundante en relación a $y$ y convexas de lo contrario?

¿Existen situaciones conocidas en las que esto suceda? Nunca he escuchado sobre eso.

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Contexto

Recientemente he estado pensando mucho sobre el análisis de funciones $f:\Bbb R \to \Bbb R$ con tercera derivada positiva en lugar de funciones con segunda derivada positiva (funciones convexas). Tales funciones son completamente cóncavas/conves o tienen un punto único (punto de inflexión) en el que la concavidad se convierte en convexidad. Resulta que estas funciones tienen muchas propiedades agradables, por ejemplo, tienen a lo sumo tres raíces y como máximo un máximo local y un mínimo local. Por lo tanto, espero que si una función de utilidad $u(x,y)$ tuviera una tercera derivada positiva/negativa a lo largo de las líneas en el espacio de paquetes, aún sería fácil analizar el problema de elección del consumidor como lo es en el caso de preferencias convexas.

Answer 1

Considere la siguiente forma de función de utilidad:

$U(x,y) = \beta (x-\alpha)^3 + y$, donde $\alpha,\beta > 0$ son parámetros. Es fácil comprobar que esta función de utilidad es monótona, de hecho, estrictamente monótona.

Para un nivel de utilidad constante $\overline{U}$, obtenemos la curva de indiferencia:

$\overline{U} = \beta (x-\alpha)^3 + y \implies y = \overline{U} - \beta (x-\alpha)^3$.

Diferenciando $y$ respecto a $x$ en las CI:

$y' = - 3 \beta (x-\alpha)^2$

$y'' = -6 \beta (x-\alpha)$

Podemos observar que las CI son convexas para $x < \alpha$ y cóncavas para $x > \alpha$.

Diferenciando una vez más,

$y''' = -6 \beta$.

Entonces, las CI siempre tienen una tercera derivada negativa.

A continuación se muestra la curva de indiferencia para el nivel de utilidad $\overline{U} = 8$, para la forma funcional anterior, con parámetros $\alpha = 2, \beta = 1$.