Aversión al riesgo y validez de las funciones de utilidad

Question

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Un inversor averso al riesgo y no saciado ha decidido utilizar la función de utilidad $$U(w) = w + dw^2,$$ donde $$d \leq 0$$ es una constante, para describir sus preferencias.

El inversor tiene un patrimonio actual de $\\\$ 100$ y compra siete cajas de verduras para $\\\$ 10$ por caja. Sabe que puede venderlas por $\\\$ 30$ , $\\\$ 12$ , $\\\$ 10$ o $\\\$ 0.5$ por caja con la misma probabilidad. Todas las cajas de verdura vendidas en un momento dado se venderán al mismo precio. Después de venderlas, su utilidad esperada de la riqueza será $50$ .

Debatir si $U(w)$ sea apropiado para el inversor.

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Mi respuesta

En primer lugar, encontramos $d$ simplemente resolviendo $$\begin{aligned} \frac 1 4 \{U[100 + 7(30 - 10)] + U[100 + 7(12 - 10)] + U[100 + 7(10 - 10)] + U[100 + 7(0.5 - 10)]\} & = \frac 1 4 [U(240) + U(114) + U(100) + U(33.5)]\\ & = \frac 1 4 (240 + 57600d + 114 + 12996d + 100 + 10000d + 33.5 + 1122.25d)\\ & = 20429.5625d + 121.875\\ & = 50, \end{aligned}$$ lo que implica que $$d \approx -0.0035$$ y, para la no saciación, $$\begin{aligned} w & \leq -\frac 1 {2d}\\ & \approx 142. \end{aligned}$$

Ahora bien, en el supuesto de que las siete cajas de verduras se vendan a $\\\$ 30$ cada uno, el inversor acabará con una riqueza de $240$ que supera el límite superior propuesto. Así pues, $U(w)$ es inadecuado para el inversor.

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Como acabo de tratar la aversión al riesgo y las funciones de utilidad, me gustaría saber si he enfocado el problema correctamente y si mi respuesta es correcta. Si no es así, cualquier explicación intuitiva será muy apreciada :)

Answer 1

La función de utilidad examinada refleja la aversión al riesgo, ya que es cóncava. Pero hay una ambigüedad en la formulación del problema. Se dice que el inversor "no está saciado". Y con el valor calculado de $d$ podemos determinar que actualmente con riqueza de $100$ , el inversor se encuentra en la curva ascendente de esta función de utilidad, por lo que no está saciado.

Ciertamente, si resulta que venden todas las cajas por $30$ se situarán en la curva descendente de esta función de utilidad.

Pero somos no que "el inversor debe/quiere permanezca en sin saciar bajo el mayor resultado posible". Sólo se nos dice que "no están saciados", lo que significa que ahora no después de que se resuelva la incertidumbre.

Por otro lado, se podría argumentar lo siguiente: "Debe entenderse por sí mismo que el inversor no tendría ningún incentivo para dedicarse a una determinada actividad económica si se diera el caso de que existiera una probabilidad distinta de cero de que quedara saciado tras la conclusión de dicha actividad económica. Por lo tanto, la función de utilidad debe ser tal que el inversor siga sin estar saciado incluso después del resultado más alto posible".

Contemplar.